Karmaşık sayılar

Karmaşık sayılar, Reel Sayıların bir genişlemesidir ve \mathbb{C} ile gösterilir. Karmaşık sayılar kümesi, gerçel sayılar kümesini kapsar. Karmaşık sayılar biri gerçel biri sanal olmak üzere iki kısımdan oluşur.

Karmaşık sayılarŞekil 1: Karmaşık bir düzlemde nokta (kırmızı) ve konum vektörü (mavi) ile çizilen karmaşık sayı; a + ib (veya a + bi olarak ta gösterilir) dikdörtgendir ve noktayı ifade eder.

Karmaşık sayılar hakkında ansiklopedik bilgi

Karmaşık sayılar, Reel Sayıların bir genişlemesidir ve \mathbb{C} ile gösterilir. Karmaşık sayılar kümesi, gerçel sayılar kümesini kapsar. Karmaşık sayılar biri gerçel biri sanal olmak üzere iki kısımdan oluşur. Bütün karmaşık sayılar a ve b birer gerçel sayı olmak üzere, a + ib biçimde yazılabilir. Burada i, x^2=-1 denkleminin köklerinden biri, başka bir deyişle -1'in kareköküdür. Kimi zaman özellikle elektrik mühendisliğinde i yerine, j kullanılır.

Karmaşık sayılarda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri aşağıdaki biçimlerde yapılır:

: ( a + ib ) + ( c + id ) = ( a + c ) + i ( b + d ) \,

: ( a + ib ) - ( c + id ) = ( a - c ) + i ( b - d ) \,

: ( a + ib ) \cdot ( c + id ) = ac - bd + i ( bc + ad ) \,

:\frac{ a + ib }{ c + id } = \frac{(a + ib ) ( c - id )}{( c + id ) ( c - id)} = \frac{ ac + bd }{ c^2 + d^2 } + i \frac{ bc - ad }{ c^2 + d^2 }

Diğer bir ifade yöntemiyle şu şekilde yazılır.

z\in\mathbb{C} olmak üzere;

z = (a,b) = a + i\cdot b

Buradan da anlaşılabileceği gibi Re(z)=a ve Im(z)=b dir.

Toplama ve çarpma işlemi ise şu şekilde tanımlanır:

z_1 = (a,b) , z_2 = (c,d) olmak üzere;

:z_1 + z_2 = (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) \,

:z_1 \cdot z_2 = (a,b) \cdot (c,d) = (ac-bd,cb+da) \,

Bu sonuçtan yukarıdaki eşitlikleri çıkartabiliriz.

Karmaşık sayılar Resimleri


  • Bir karmaşık sayı ile eşleniğinin karmaşık uzaydaki gösterimi.

  • Şekil 2: φ değişkeni ve r mutlak değeri, karmaşık düzlemdeki bir noktanın konumudur. Noktanın kutupsal ifadesi şöyledir: r(cosφ + isinφ) veya reiφ.

  • fonksiyonunun alan renklendirme çizimi. Ton, fonksiyon değişkenini ifade ederken, doygunluk ve canlılık miktarı ifade eder.

  • Şekil 1: Karmaşık bir düzlemde nokta (kırmızı) ve konum vektörü (mavi) ile çizilen karmaşık sayı; a + ib (veya a + bi olarak ta gösterilir) dikdörtgendir ve noktayı ifade eder.



Yorumlar - Lütfen konu (Karmaşık sayılar) ile ilgili faydalı olabilecek bilgilerinizi yazarak internette Türkçe bilginin gelişmesine katkıda bulunun. Teşekkür vb. yorumlar yayınlanmamaktadır. Hata bildirme ve diger mesajlariniz için bu linki kullaniniz.

said:

Kompleks sayılarla ilk karşılaşıldığında tuhaf gelmesine rağmen, mühendislik problemlerinin çözümünde çok kuvvetli bir araç olması nedeniyle de, bu sayıların değeri bizatihi kendinde saklı olduğu söylenebilir. En önemli uygulamalarından biri alternatif akım (a.c ) devre analizidir. Mühendisler, ana enerji kaynağı alternatif akım (a.c ) ve, elektriğin üretimi, iletimine hakım olan parametreler alternatif akım ve gerilim olması nedeniyle çok ilgilenmektedirler.

Sinyal analiz ve işlevinde kullanılan matematiksel modellemelerde kompleks sayılar, sinüzoidal niceliklerin kullanılmasına elverişli olması nedeniyle, önemli ölçüde temel alınır. Bundan başka, haberleşme cihazlarında kullanılan filtrelerin tasarımının altında bu sayılar yatar.

Özellikle bu sayılarla ilgili alanlardan biriside kontrol mühendisliğidir. Şimdiye kadar kontrol mühendisleri, kontrol sistemlerini zaman alanında temsil yerine, kontrol sistemlerini kompleks düzlemde temsilini tercih ederler.

Bunların dışında Elektrik mühendisliği, kuantum mekaniği, görelilik kuramı, sinyal analizi gbi sistemlerde karmaşık sayıların kullanım alanlarına girmektedirler. Bu arada elektrik kuramında i yerine, akım şiddeti i ile karıştırmamak için j kullanılmaktadır.

Bunların yanında komplex sayıların; dalganın ortaya çıktığı (ister su dalgası olsun, ister bir yay titreşimi, ister gece-güzdüzden dolayı oluşan sıcaklık dalgası...) her alanda , bir sarkacın hareketinin modellemesinde. Arabaların süspansiyonlarında da, Eğer yaylanan bir sisteminiz varsa bunun modellemesinde kullanırsınız.

Aynı şekilde elektrik devrelerinde. Alternatif akımı modellemede çok kolaylık sağlıyorlar. Güç tüketimi ve enerji hesaplarında karşımıza bol bol çıkan tek şey gene karmaşık sayılardır.

- 3 yıl, 3 ay önce yazıldı.
busraaa: KARMAŞIK SAYILARIN KULLANIM ALANLARI SAHSEN ODEVİM VE GEREKLI UMARIM YARDIMCI OLURUM elektrik muhendisliğinde bilim kurgu filmlerinde,haritacılık biliminde,ileri derecedeki çiplerde kullanılır umarım işinize yarar;) - 3 yıl, 4 ay önce yazıldı.
aytug: cok yetersız bılgııı lutfen ekleme yapın - 7 yıl, 4 ay önce yazıldı.