Olasılık

Değişken, rastlansısal (rastsal) anlamına gelen sıfat. Stokastik süreçlerin istatistikte ve mühendislikte önemli bir yeri vardır. Stokastik bir sürece örnek olarak temel uygulamalardan bir tanesi verilebilir: Şirketler geçmiş talep miktarlarına bakarak, gelecek aylarda ürünleri için ne kadar çok talep olacağını tahmin etmeye çalışırlar.

OlasılıkPascal ve Fermat arasındaki yazışmalardan bir örnek, 1654 [1]

Olasılık hakkında ansiklopedik bilgi

Olasılık değişken, rastlansısal (rastsal) anlamına gelen sıfat. Stokastik süreçlerin istatistikte ve mühendislikte önemli bir yeri vardır. Stokastik bir sürece örnek olarak temel uygulamalardan bir tanesi verilebilir: Şirketler geçmiş talep miktarlarına bakarak, gelecek aylarda ürünleri için ne kadar çok talep olacağını tahmin etmeye çalışırlar. Bunu hiç yoktan tahmin etmek yerine, talebin geçmiş günler veya aylar boyunca nasıl davrandığını yakından incelerler. Talep stokastik, yani değişken bir miktar olduğu için talebi incelerken matematikten ve özellikle istatistikten faydalanırlar.

Olasılık teorisi

Fiziksel ve sosyal bir olgunun kesin olarak belirlenmesi olanaksız da olsa, bu tür olgular yeterince gözlendiklerinde belirli bir düzenleri oldukları saptanabilir. Bu düzenin matematiksel ifadesini elde etmek, olguların gerçekleşmesine ilişkin yargılarımızı, önermelerimizi sayılaştırmak olasılık teorisinin sunduğu araçlarla olanaklıdır. Basitçe ifade edersek olasılık, rastlantısal bir olguya ilişkin bir önermenin kesine yada olanaksıza ne kadar yakın olduğunu gösteren bir sayıdır.

‘’0’’ olanaksızı ‘’1’’ ise kesini simgeler. Olasılık, objektif yöntemlerle ve/veya sübjektif süreçte hesaplanabilir. Bu büyük ölçüde ilgilenilen olayın niteliğine ve dolayısıyla baş vuracağımız olasılık tanımına bağlı olacaktır. Olasılığın 3 temel tanımını görmeden önce, bu tanımlarda ortak kullanılan temel kavramları ele alalım.

Temel kavramlar

Rastlantısal Deney ve Rastlantısal Deneme:

Raslantısal deney ya da kısaca deney, sonucu kesin olarak bilinmeyen olgulara ilişkin gözlem yapma ya da veri toplama süreci olarak tanımlanabilir. Örneğin hilesiz bir para 3 kez atılırsa kaç kez tura geleceğini, bir fabrikada üretilen makine parçalarının defoluluk yüzdesini tahmin etmek amacıyla çekilecek 40 adet makine parçasının kaç tanesinin defolu olacağını önceden bilemeyiz. Öyleyse madeni para 3 kez atılıp, kaç kez tura geldiği sayıldığında ya da 40 adet makine parçası kontrol edildiğinde birer rastlantısal deney yapılmış olur.

Raslantısal deney raslantısal denemelerden oluşur. Paranın 3 kez atılması rastlantısal deney ise, her bir atış bir raslantısal denemedir. Rastlantısal deney 40 adet makine parçasının incelenmesi ise, her parçanın kontrolü bir rastlantısal denemedir. Süphesiz rastlantısal deney tek bir denemeden oluşuyorsa deney – deneme kavramları denk olur.

Sonuç:

Her bir denemede elde edilen durum denemenin sonucu olarak adlandırılır. Örneğin para ikinci atışta tura gelmişse ya da kontrol edilen 17. Parça defolu ise bu durumda para atışı deneyinin 2. Denemesinde sonucu ‘’Tura’’, parçaların kontrolü deneyinin 17. Denemesinin sonucu ‘’Defolu’’ olarak gerçekleşmiş denilecektir.

Örnek Uzay:

Bir rastlantısal deneyde gerçekleşebilecek tüm mümkün farklı sonuçların oluşturduğu küme örnek uzay olarak adlandırılır.

Örneğin rastlantısal deney hilesiz bir zarın bir kez atılması ise, deney 6 farklı biçimde sonuçlanabileceği için örnek uzay S= {1,2,3,4,5,6} olacaktır. Zar iki kez atılıyorsa, bu deney 36 farklı şekilde sonuçlanabilir : S= {(1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , ...., (4, 6) , (5, 6) , (6, 6) }. Rastlantısal deney bir makine parçasının kontrolü ise, iki farklı sonuç mümkündür; parça defoludur ya da değildir. Öyleyse örnek uzay S={Defolu, Defosuz} olacaktır.

Örnek uzay kesikli veya sürekli olabilir. S= { 1,2,3,4,5,6} gibi sonlu ya da S= {2,4,6,8,...} gibi sayılabilir sonsuz değerlerden oluşan örnek uzaylar kesikli olarak nitelendirilirken, bir doğru parçası üzerindeki ya da bir düzlem içindeki noktalar gibi sayılamayan sonsuz sayıda elemandan oluşan, dolayısıyla tek tek değerler yerine S= { X| a< x < b } gibi bir aralıkta ifade edilen örnek uzaylar ise sürekli olarak düşünülecektir.

Örnek uzayın kesikli ya da sürekli oluşu rastlantısal deneyi belirleyen değişkene ve bazen de bizim ölçme ya da kriterimize bağlıdır. Örneğin dayanma süresini test etmek amacıyla, bir ampulün teli yanana kadar açık bırakıldığını düşünelim. Ampulün teli hemen yanabileceği gibi, sonsuza kadar da bozulmadan (teorik olarak) kalabilir. Öte yandan zaman sürekli bir değişken olduğu için ampulün ömrü bizim ölçme hassaslığımıza (saat, dakika, saniye vs.) bağlı olarak her değeri alabilir. Öyleyse bu deneyin örnek uzayı S= { X | 0 < X <  } olacaktır. Aralık olarak ifade edilen bu örnek uzay süreklidir. Ancak var sayalım ki, pratik nedenlerle ampulün dayanma süresi tam sayı olarak ifade edilmek istensin. Örneğin 2 saat 46 dakika olan bir değer en yakın tam değer olan 3 ile gösterilsin. Bu durumda örnek uzay negatif olmayan tam sayılardan S={0,1,2,3,...,} oluşan sayılabilir sonsuz yani kesikli örnek uzay olacaktır.

Olay:

Örnek uzayın herhangi bir alt kümesine olay denir. Örneğin

bir zarın atılması deneyinin örnek uzayı S= {1,2,3,4,5,6}’ in

alt kümeleri olan A1 = { 1,3,5 } , A2 = { 2,4,6 } , A3 = { 1,2 }

kümeleri birer olayı gösterebilir. Sözlerle ifade edilirse A1

olayı zarın tek gelmesi , A2 olayı zarın çift gelmesi, A3 olayı

ise zarın 3’ ten küçük bir sayı gelmesi olabilir.

Yukarıda verilen ampul örneğinde ise ampulüm ömrünün 120 saatten az olması B1={x | x<120} ya da 75 ile 1200 saat arasında olması B2={x | x 75 < x < 1200 }, 250 fazla olması B3={ x|x >250} alt kümeleri birer olayı simgeler.

Uygulama: Hilesiz bir para üç kere atılsın. Örnek uzayı en az tura gelmesi olayının kümesini oluşturduğumuzda.

En az 2 tura gelmesi olayını A ile gösterelim. S ve A;

S = { TTT, TTY, TYT, TYY, YTT, YTY, YYT, YYY} A={ TTT, TTY, YTY,YTT} olacaktır.

Olayların çeşitli kombinasyonları da aynı örnek uzayda yeni olayların tanımlanmasını sağlar. Aşağıda bunların temel olanları, Venn şemalarıyla birlikte verilmiştir.

• A1  A2 : A1’ in veya A2’ nin veya her ikisinin

De gerçekleşmesi olayıdır.

• A1A2 : A1 ve A2 olaylarının her ikisinin de

Gerçekleşme olayıdır.

• At1: A1’ in tümleyeni olarak adlandırılacak

Bu olay A1’ in gerçekleşmemesi olayıdır.

• A1 \ A2 : A1’ in gerçekleşmesi ve A2 ‘ nin

Gerçekleşmemesi olayıdır.

Aynı anda gerçekleşmeleri mümkün olmayan diğer bir deyişle kesişmeleri boş küme olan olaylara ayrık olaylar denir. Örneğin olay kavramını tanımlarken örnek verilen A1 ve A2 olayları aynı anda gerçekleşmeleri olanaksız olduğu (zar hem tek hem de çift sayı gelemez), dolayısıyla A1A2 =  olduğu için ayrıktırlar. Ancak aynı şeyi A1 ve A3 ile A2 ve A3 olayları için söyleyemeyiz. Benzer şekilde B1 ve B2 ile B2 ve B3 olayları da kesişimleri boş küme olmadığı için ayrık değilken, B1 ve B3 olayları için ayrıktır.

Uygulama : A, B, C olayları aşağıdaki gibi tanımlansın.

A= {a, b, c, d} B= {d, e, f} C= {c, d, f, g}

A U B, AC, BC, AB, A U C, B U C, ABC, ve A\B olaylarını yazınız.

Çözüm:

A U B= {a, b, c, d, e, f} AC= {c, d} BC= {d, f} AB= {d}

A U C= {a, b, c, d, f, g} B U C= {c, d, e, f, g} ABC= {d} A\B= {a, b, c}

Olasılığın tanımları

Olasılığın hesaplanmasında ya da tanımlanmasında başlıca üç temel yaklaşım olduğunu söyleyebiliriz. Bu yaklaşımlarını kısaca ele alalım.

Klasik yaklaşım

S, gerçekleşme şansları eşit (eş olasılıklı) sonuçlarından oluşan bir örnek uzayı ve A ise bu örnek uzayda tanımlı bir olayı göstersin. A olayının gerçekleşme olasılığı P (A), bu yaklaşımda

P (A) = n(A) / n (S)

Olarak tanımlanır.

Uygulama: Hilesiz bir zar bir kez atılırsa 4’ ten büyük bir sayı gelme olasılığı nedir?

Çözüm :

Zarın hilesiz olduğunun belirtilmesi ile zarın yüzlerinin eşit gerçekleşme şansına sahip olması, dolayısıyla klasik tanıma başvurarak olasılığın hesaplanabileceği anlaşılmalıdır. S={1, 2, 3, 4, 5, 6} ve A={5, 6} olduğuna göre

P (A) = 2 / 6

Olacaktır.

Örnek uzayının sonsuz olduğu durumda payda sonsuz olacağı için klasik tanımın kullanılmayacağı açıktır. Bir diğer zayıf nokta ise örnek uzayı oluşturan tüm mümkün sonuçların eş olasılıklı (eşit sansa sahip) olması gerektiği koşuludur. Bu varsayım aslında rastlantısal deneye ve deneyin nesnesine ilişkin yapılan soyutlamadır.

Bu yüzden şans oyunlarına ilişkin olasılık problemlerinde zarın, madeni paranın hilesiz ya da homojen olduğu, iskambil destesinin iyi karıştırıldığı belirtilir. Aslında matematiksel nesneler de fiziksel açıdan soyutlanmıştır. Doğruların kalınlığı düzlemlerin yüksekliği yoktur. Bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik olarak tanımlanan çemberler pürüzsüzdür. Oysa bir kağıdın üzerine çizdiğiniz doğru, düzlem ya da çember matematiksel ifadelerine tam olarak uymazlar. Kağıdın dokusu, mürekkebin kalınlığı nedeniyle aslında hepsi fiziksel olarak 3 boyutludur. Ancak matematiksel nesneleri salt matematiksel düşünen, onlara fiziksel bir anlam katmayan matematikçiler (işlerini iyi yapmaları için bu şarttır.) için bu durum sakınca yaratmaz. Klasik tanımda yapılan soyutlama da bu anlamda matematiksel açıdan idealdir ve olasılık hesabına kolaylık sağlar. Ancak olasılık yaşama ilişkindir ve tüm mümkün sonuçların her zaman eşit şansa sahip olduğunu iddia etmek gerçekçi olmaz. Örneğin yarın yağmur yağma olasılığı ile ilgileniyorsak, örnek uzayın iki elemanı vardır. S={Yağmur yağar,Yağmur yağmaz}; klasik tanıma göre bu iki mümkün durumu eş olasılıklı kabul etmemiz, dolayısıyla her koşulda, her mevsimde yağmur yağma olasılığını ½ olarak vermemiz gerekir. Benzer şekilde kuzey anadolu fay hattında 2005 yılına kadar deprem olma olasılığı ile ilgileniyorsak yine iki mümkün durum vardır: S={Deprem olur, Deprem olmaz} . Hiçbir jeolojik inceleme yapmaksızın, deprem tarihi incelenmeksizin bu iki durumun eşit şansa sahip olduğunu iddia etmek şüphesiz gerçekçi olmayacaktır.

Frekans tanımı

Klasik yaklaşımda rastlantısal deney soyut bir kavramdır. Yani deneyin fiziksel olarak gerçekleştirilmesi gerekmez. Diğer bir deyişle olasılıklar önsel (a priori) verilir. Paranın hilesiz olduğu var sayılır ve tura gelme olasılığı 0,50 olarak hesaplanır. Hilesiz olduğuna emin olmadığımız bir madeni paranın tura gelme olasılığı ile ilgileniyorsak, bu olasılığı bulmanın bir yolu söz konusu parayı yeterince atmak olabilir. Para n kez atılırsa ve n (A) kez tura gelirse n(A)/n oranını yani tura sayılarının frekans oranını tura gelme olasılığı kabul edebiliriz. Sezginsel olarak para ne kadar çok atılırsa n (A)/n oranının gerçek olasılığa o kadar çok yaklaşacağını söyleyebiliriz.

Öyleyse olasılığın istatistiksel tanımı da denilen bu yaklaşımda, bir A olayının olasılığı

P (A) = lim n(A)/ n

n

olarak tanımlanabilir. Burada n, rastlantısal deneyin tekrarlanma sayısını, n (A) ise, bu denemelerde A olayının gerçekleşme sayısını (frekansını) göstermektedir. Öyleyse bu tanımda olasılıklar klasik tanımın tersine sonsal (a posteiori) verilmektedir.

Zar hilesiz olduğu için klasik tanıma göre, herhangi bir yüzün gerçekleşme olasılığı

P (A) = 1/6  0,1667

Olacaktır.

Doğada ve toplumda bir çok olayın olasılığını hesaplamada, bu olayların geçmişteki tekrar sayılarına (frekansına) başvururuz. Bu yüzden frekans tanımı geniş bir uygulama alanına sahiptir. Örneğin sigorta şirketleri belirli bir yaş grubundaki bir kişini ölme olasılığını hesaplamada daha çok ölüm istatistiğine başvururlar. Çünkü belirli bir yaş grubundaki ölümlerin toplam ölümlere oranı (frekans oranı) yıldan yıla büyük değişiklik göstermez. Geçmiş verilere bakıldığında bu oranın belirli bir değere yakınsadığı ve güvenebileceği anlaşılır.

Her ne kadar klasik tanımın kısıtlamaları (sonlu örnek uzayı ve örnek uzayın elemanlarının eş olasılıklı olması varsayımları) bu tanımda yoksa da, frekans oranı tanımının da zayıflıkları vardır. Birincisi, tanımda yer alan sonsuz kavramının pratikte neyi temsil ettiğine, gerçek olasılığa yakınsamanın gerçekleşmesi için kaç denemeye ihtiyaç olduğuna ilişkin kesin bir yanıt vermek olanaksızdır. İkincisi, bir dizi denemede belli bir değere yakınsamanın gerçekleşeceğini varsaysak bile; başka bir dizi denemede aynı değere yakınsamanın gerçekleşeceğine ilişkin teorik bir garanti yoktur.

Subjektif tanım

Bir olayın sübjektif olasılığı, daha önceki iki tanım da olduğu gibi yalnızca objektif yöntemlerle değil, sübjektif yargılarının da hesaba katıldığı ve söz konusu olayın geçerliliğine ya da olabilirliğine ilişkin verilen ve veren kişinin olayın gerçekleşmesine ilişkin kişisel güveninin derecesini gösteren 0, 1 aralığında reel bir sayıdır. Burada 0 olanaksızlığı, 1 ise kesinliği simgeler.

Sübjektif tanım, piyasaya ilk kez sürülecek olan bir ürünün % 25’ lik Pazar payı alması, 2015 yılında bir meteorun dünyaya çarpması ya da 20 yıl içerisinde Kuzey anadolu fay hattı üzerinde merkez üssü İstanbul’ un güneyi ve 7 büyüklüğünde bir deprem olması gibi gelecekte gerçekleşecek olayların olasılığını hesaplamada kullanılabilir. Olasılıklar tayin edilirken objektif veriye ve / veya sübjektif yargıya başvurulur. Örneğin deprem olasılığını hesaplayacak uzmanlar, son depremdeki fay deformasyonunun boyutunu, fayın ne kadar kırıldığını incelemek ve riskli fayın 3 boyutlu görüntüsünü çıkarmak suretiyle gelecek depreme ilişkin sübjektif yargıda bulunabilirler.

Bunun yanı sıra geçmişteki düzenli levha hareketlerini, daha önceki tarihte, hangi noktalarda, ne büyüklükte depremlerin olduğuna ilişkin objektif veriyi de sübjektif yargıyla birleştirerek olasılıkları tayin edebilirler. Ancak başvurdukları kriterlere, bilgi birikimlerine ve yeteneklerine göre farklı uzmanların farklı olasılıklar verebileceğini de sübjektif tanımda doğallıkla kabul etmemiz gerekir. Bir A olayının olasılığı bu yaklaşımda şu şekilde verilebilir. Örneğin deprem olma şansını, olmama sansının 3 katı görüyorsak,

P (A) / 1-P (A) = 3 / 1

Eşitliğini yazabiliriz. Buradan P (A)

P (A) = 3 – 3P (A)  P(A) = ¾

Olur. Öyleyse A’ ya verilen şans x, verilmeyen şans y ise,

P (A) / 1 – P (A) = X / Y

Eşitliğinden A olayının gerçekleşme olasılığı

P (A) = X / X+Y

Olarak elde edilebilir. Başka bir deyişle ifade edilirse, bir A olayının gerçekleşmesine ilişkin sübjektif olasılık:

P (A) = A’ ya verilen şans / Toplam şans

Olarak tanımlanabilir. verilen şanslar ise genellikle kısaca x : y notasyonu ile belirtilir. Öyleyse yukarıdaki örnekte verilen şanslar 3 : 1 olarak ifade edilebilir.

Olasılık teorisinin aksiyomatik yapısı

Matematiğin aksiyomatik yapısının 3 temel unsuru vardır:

• Tanımsız terimler (Örn: Öklit geometrisinde nokta, doğru yada küme teorisinde küme, eleman)

• Tanımsız ilişkiler (Örn: doğru üzerinde bir nokta, X kümesinin elemanı)

• Aksiyomlar (Örn: iki noktadan bir doğru geçer). Aksiyomların sezgisel olarak doğrulukları açıktır ve ispatlamadan doğru olarak kabul edilirler.

Bu üç temel unsurdan yararlanarak, teoremler, yardımcı teoremler, sonuçlar vs. ile matematiksel yapı oluşturulur. Olasılık teorisi de aksiyomatik bir yapı olarak ele alınırken, olasılığın kendisi tanımsız bir terim olarak düşünülür. Yani olasılık teorisinde olasılığın ne olduğu sorusunun değil, nasıl hesaplanacağı sorusunun anlamı vardır.

Olasılık Teorisinin Aksiyomları:

S bir rastlantısal deneye ilişkin örnek uzay olsun. Olasılık teorisinde olasılığın ölçümünü sağlayacak aşağıdaki 3 aksiyoma başvurulur:

1. P( A )  0

2. P( S ) = 1

3. S örnek uzayı A1, A2,.....An,...... ayrık olaylarından oluşuyor ise;

P ( A1 U A2 U.....U An,...) = P (A1)+P (A2)+......+P (An)+...

Eşitliği yazılabilir. A olayının olasılığı P (A) daha önce tartışılan 3 tanımdan herhangi biriyle hesaplanabilir. Ancak hesaplanan bu olasılığın yukarıda verilen 3 aksiyomuda sağlaması gerekir.

Uygulama:

A1, A2, A3, A4 bir örneklem uzayını oluşturan ayrık olaylar ise, aşağıda bu olaylara ilişkin verilen olasılıkların uygunluğunu tartışalım.

(a) P (A1)=2 / 3 P (A2)=1 / 6 P (A3)= 1 / 12 P (A4)= 1/ 12

(b) P (A1)=1 / 4 P (A2)=2 / 4 P (A3)= 2 / 4 P (A4)= 1/ 4

(c) P (A1)=1 / 2 P (A2)=3 / 5 P (A3)= 1 / 5 P (A4)= 2/ 5

Verilen olasılıklar olasılık teorisinin 3 aksiyomu ile tutarlı olmak zorundadır.

(a) Olasılıkları hepsi pozitif olduğu için birinci aksiyomu (P (A1)  0) sağlanır. Toplamlar 1’ i verdiği için ikinci aksiyom ( P (S)= 1)sağlanır. Üçüncü aksiyom (P ( A1 U A2 U A3 U A4)=P(A1)+P (A2)+P (A3)+ P (A4)) olayların tanımından dolayı sağlanır. Öyleyse bu şıkta verilen olasılıklar tutarlıdır.

(b) Birinci aksiyom sağlanıyorsa da toplam olasılık (6 / 4) 1’ den büyüktür; dolayısıyla ikinci aksiyom sağlamaz. Bu yüzden olasılıklar geçerli değildir.

(c) P (A3) < 0 olduğu için birinci aksiyom sağlamaz. Bu yüzden olasılıklar geçersizdir.

Bazı Önemli Teoremler

Ai, S örnek uzayında tanımlı bir olay olsun. P (Ai) olasılığının hesaplanmasında daha önce söz edilen 3 tanımdan da faydalanılabilir ve üç aksiyom kullanılarak çeşitli teorem ve sonuçlar elde edilebilir. Aşağıda bunlardan bazılarına yer verilmiştir.

Teorem 1: At, A olayının tümleyeni ise P (At ) = 1 – P (A)

Teorem 2: P (  ) = 0

Teorem 3: A1  A2 ise P (A1)  P (A2)

Teorem 4: P (A1 U A2) = P(A1) + P(A2) – P (A1A2)

3 olayda söz konusu ise;

P( A1 U A2 U A3)= P(A1) + P(A2) + P(A3) – P(A1A2) – P(A1A3) – P(A2A3) + P(A1A2A3)

Olacaktır.

• (Boole eşitsizliği): P(A1 U A2)  P(A1) + P(A2)

4. teoremin bir sonucu olan Boole eşitsizliğinin genel hali ise

n n

PUAi =  P(Ai)

i=1 i=1

Olarak yazılabilir.

Teorem 5: 0  P (A)  1

Teorem 6: P (A) = P (AB) + P (ABt)

Olasılık Resimleri


  • Pascal ve Fermat arasındaki yazışmalardan bir örnek, 1654 [1]



Yorumlar - Lütfen konu (Olasılık) ile ilgili faydalı olabilecek bilgilerinizi yazarak internette Türkçe bilginin gelişmesine katkıda bulunun. Teşekkür vb. yorumlar yayınlanmamaktadır. Hata bildirme ve diger mesajlariniz için bu linki kullaniniz.