Türkçe Bilgi: Yöney

Yöney veya vektör, sayısal büyüklüğü ve birimi yanında doğrultu ve yönü de olan cebirsel yapılardır. Hız, kuvvet, ivme, ağırlık ve benzerleri birer yöneysel büyüklüktür. Yöneyler bir sayı ile çarpılabilir ve bölünebilir. Yöneyler yönü değiştirilmemek şartı ile ötelenebilir. Tanım Soyut olarak yöneyler, bir F cisminin üzerine tanımlı bir yöney uzayının öğeleridir. Yöneyler bu cisim üzerine tanımlanmış bir denklik bağıntısı yardımıyla tanımlanabilir.

a,b,c,d \in F^n=F \times F \times \cdots \times F

(n tane) olsun. a öğesi ile b öğesi, ancak bileşenlerin toplamı olarak a+d=b+c ise bağıntılıdır. Daha biçimsel olmak gerekirse :

a \sim b \Leftrightarrow \forall i \in \ : \quad a_i+d_i=b_i+c_i

şeklinde tanımlanır ki burada

a_i \in F

'ler a noktasının koordinatlarıdır ve + işlemi F cismine aittir. Bu bağıntının bir denklik bağıntısı olduğu kolaylıkla görülebilir. O halde yöney, denklik sınıflarıdır. Böylece denklik sınıfı temsilcisini koyu harfle gösterirsek, bir yöney :

\mathbf=\

olarak tanımlanmış olur. Daha açık bir biçimde bir yöney, :

\mathbf=( a_1-b_1,a_2-b_2,\cdots,a_n-b_n )=( c_1-d_1,c_2-d_2,\cdots,c_n-d_n )

şeklinde düşünülebilir.

Gösterim

Bir yöney çok çeşitli şekillerde gösterimlenebilir. En yaygın gösterimler, üzerinde bir ok işareti (

\vec

) ya da koyu harf (

\mathbf

) gösterimidir. Oklu gösterimin avantajı el yazılarında kolaylıkla kullanılabilir olmasıdır. Ancak baskı ve sayısal metinlerde koyu harf kullanmak adettir. Yöneyin bileşenleriyle gösteriminde ise genellikle sıralı n-li kullanılır. :

\mathbf=(a_1,a_2,\cdots,a_n)

Yer yer (konunun veriliş tarzına bağlı olarak) satır ya da sütun dizey gösterimi de yeğlenir. :

\mathbf=\begina_1 & a_2 & \cdots & a_n \end

ya da

\mathbf=\begina_1 \\ a_2 \\ \cdots \\ a_n \end

Yine yaygın gösterimlerden biri birim yöney gösterimidir. :

\mathbf=a_1 \mathbf_1+a_2 \mathbf_2+\cdots+a_n \mathbf_n

ki burada ::

\mathbf_1=(1,0,\cdots,0)

\mathbf_2=(0,1,0,\cdots,0)

\vdots

\mathbf_n=(0,\cdots,0,1)

alınabilir. Bir yöney :

\mathbf=\sum_^n a_j \mathbf_j

şeklinde düşünüldüğünde Einstein toplam uzlaşımı kullanılarak :

a=a_j \mathbf_j \quad \quad \quad (j=1,2,\cdots,n)

şeklinde gösterilebilir. Bu gösterim, toplam simgesinden kurtulmada ve bileşenleri temsil edecek şekilde bir kolaylık sağlamaktadır. Genellikle tensör gösterimi olarak anılır.

Köken

İngilizce'de bu yapı için kullanılan sözcük vector dür.

Köken

i, "taşımak"/"bir yöne aktarmak"/"göndermek" anlamına gelen "vehere" Latince fiil gövdesidir Online Etymology Dictionary. Sözcüğün anlamı "taşıyıcı"/"yöncü" olarak düşünülebilir. Bu yüzden olabilir ki Türkçe'de (büyük ihtimalle Fransızca'dan devşirilmiş olan) vektör karşılığından sonra yöney karşılığı kullanılmaktadır Türk Dil Kurumu, Bilim ve Sanat Terimleri Ana Sözlüğü. =Yöney İşlemleri= Eşitlik Ancak yöneylerden birinin her bileşeni karşılıklı olarak diğerininkine eşitse bu iki yöney eşittir. :

\mathbf=\mathbf \Leftrightarrow \forall a_i,b_i: a_i=b_i

Daha cebirsel olarak, iki yöney aynı denklik sınıfına aitse eşittir. Yöney toplamı right|280px İki yöneyin toplamı üçüncü bir yöneye eşittir. :+\mathbf |

=(a_1 \mathbf_1+a_2 \mathbf_2+\cdots+a_n \mathbf_n)+(b_1 \mathbf_1+b_2 \mathbf_2+\cdots+b_n \mathbf_n)

|- | |

=(a_1+b_1)\mathbf_1 + (a_2+b_2)\mathbf_2 + \cdots + (a_n+b_n)\mathbf_n

|- | |

=\begina_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ \cdots \\ a_3+b_3\end

|} Skaler (sayıl) ile çarpma Bir yöney uzayında, sayıl ve yöneyler arasında bir çarpma ve dağılma olması gerekir. r,s sayılları F cismine ait olsun. O halde

\mathbf

\mathbf

yöneyleri için, * Sayıl ile birleşme:

r(s \mathbf)=(rs)\mathbf

* Sayıl toplaması üzerine dağılma:

(r+s)\mathbf=r\mathbf+s\mathbf

Yöney toplamı

üzerine dağılma:

r(\mathbf+\mathbf)=r\mathbf+r\mathbf

* Sayıl birim öğe ile çarpma:

1\mathbf=\mathbf

özellikleri sağlanır. Genel olarak yöneyle sayılın çarpması, yöneyin her bileşeninin sayıl ile çarpılmasıdır. :

r\mathbf=\begin r a_1 & r a_2 & \cdots & r a_n \end

Nokta (sayıl) çarpım İki yöney sayıl çarpımla çarpılırsa bir yöney değil bir skaler (sayıl) elde edilir. :

\mathbf\cdot\mathbf  = \left|\mathbf\right|\left|\mathbf\right|\cos\alpha

Yöneyleri birim yöneylerle ifade edip, çarpımı birim yöneylerin çarpımından tanımlamak da mümkündür. :

\mathbf\cdot\mathbf  = \left(a_1 \mathbf_1 + a_2 \mathbf_2 + \cdots + a_n \mathbf_n \right)\cdot\left(b_1 \mathbf_1 + b_2 \mathbf_2 + \cdots + b_n \mathbf_n \right)

Eğer birim yöneyler

\mathbf_i

(i = 1, 2, ..., n) olarak gösterilirse (örneğin üç boyutta

\mathbf=\mathbf_1

vs.), :

\mathbf_i \cdot \mathbf_j = \delta_

Burada

\delta_

ifadesi, Kronecker delta fonksiyonudur ve i ile j eşitse 1, değilse 0 değerini alır. Örneğin; :

\mathbf\cdot\mathbf=0

\mathbf\cdot\mathbf=0

\mathbf^2=\mathbf \cdot \mathbf = 1

olur. Bu durumda bir yöneyin nokta çarpımı birim yöneylerin çarpımına indirgenmiş olur: :

\mathbf\cdot\mathbf = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n

Ayrıca bu çarpımı dizeylerle de tanımlayabiliriz: :

\mathbf\cdot\mathbf = a^T b =\begina_1 \\ a_2 \\ a_3 \end^T \beginb_1 \\ b_2 \\ b_3 \end=\begina_1 && a_2 && a_3 \end\beginb_1 \\ b_2 \\ b_3 \end=  a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3

Çapraz (yönel) çarpım Üç boyutlu iki yöneyin çapraz çarpımı, bu iki yöneyin tanımladığı düzleme dik üçüncü bir yöneye eşittir. :

\mathbf\times\mathbf  =  \left|\mathbf\right| \left|\mathbf\right|  \sin \theta \mathbf

180px|right ki burada

\mathbf

her iki yöneye dik olan birim yöneydir. Ayrıca yöneyler satır ya da sütün dizeyler (matris) olarak düşünüldüğünde bu çarpım aşağıdaki gibi tanımlanabiir: :\times\mathbf |

=\begina_1 \\ a_2 \\ a_3\end \times \beginb_1 \\ b_2 \\ b_3 \end

|- |

\quad

=\begin0  & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end \begin b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end

|- |

\quad

=\begina_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end

|} Yönel çarpım determinant ile de tanımlanabilir: :\times\mathbf |

=\begin \mathbf_1 && \mathbf_2 && \mathbf_3 \\ a_1 && a_2 && a_3 \\ b_1 && b_2 && b_3 \end

|- |

\quad

=(a_2b_3 - a_3b_2) \mathbf_1 + (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf_2 + (a_1b_2 - a_2b_1) \mathbf_3

|} Dikkat edilirse eğer yöneyler paralelse

\frac = \frac = \frac

olacağından çarpımın sonucu sıfır yöneyidir. Doğrudan çarpım (tensör çarpımı) İki yöneyin doğrudan çarpımının sonucu ne bir yöneydir ne bir skalerdir, bir ikiçtir (dyad). :

\mathbf \mathbf =  \begina_1 \\ a_2 \\ a_3\end  \beginb_1 && b_2 && b_3 \end  =  \begina_1 b_1 && a_1 b_2 && a_1 b_3  \\a_2 b_1 && a_2 b_2 && a_2 b_3  \\a_3 b_1 && a_3 b_2 && a_3 b_3 \end

Bu çarpıma, eğer yöneyler eş boyutluysa, çiftli (dyadic) çarpım denir. Eğer yöneyleri birim yöneylerle ifade edersek :

\mathbf=a_1 \mathbf_1+a_2\mathbf_2+a_3 \mathbf_3

\mathbf=b_1 \mathbf_1+b_2\mathbf_2+b_3 \mathbf_3

şeklinde tanımlanan iki yöney için doğrudan çarpım : |

\mathbf \mathbf \,

| = |

( a_1 \mathbf_1+a_2\mathbf_2+a_3 \mathbf_3 ) ( b_1 \mathbf_1+b_2\mathbf_2+b_3 \mathbf_3 )

|- | | = |

a_1 b_1 \mathbf_1\mathbf_1 + a_1 b_2 \mathbf_1\mathbf_2 + a_1 b_3 \mathbf_1\mathbf_3

|- | | + |

a_2 b_1 \mathbf_2\mathbf_1 + a_2 b_2 \mathbf_2\mathbf_2 + a_2 b_3 \mathbf_2\mathbf_3

|- | | + |

a_3 b_1 \mathbf_3\mathbf_1 + a_3 b_2 \mathbf_3\mathbf_2 + a_3 b_3 \mathbf_3\mathbf_3

|} olarak elde edilir. Buradaki

\mathbf_1\mathbf_2

gibi birimler yeni birer birimdir, yani başka bir

\mathbf

cinsinden ifade edilemez. Bu yüzden

\mathbf_=\mathbf_i\mathbf_j

olarak tanımlandığında ::_ + a_1 b_2 \mathbf_ + a_1 b_3 \mathbf_ |- | | + |

a_2 b_1 \mathbf_ + a_2 b_2 \mathbf_ + a_2 b_3 \mathbf_

|- | | + |

a_3 b_1 \mathbf_ + a_3 b_2 \mathbf_ + a_3 b_3 \mathbf_

|} elde edilir ki bu da dizey gösterimine tekabül eder.

Kaynaklar

Vikipedi

Yöney

Gösterim

Köken

Köken

Yöney toplamı

Kaynaklar

Yöney

Vektör

Vektör alanı

Orhan Yöney

Fazıl Osman Yöney

Vektör uzayı

Vektör hesabı

çapraz çarpım

Lie cebiri

Yöney

Yöney Hakkında Detaylı Bilgi

Gösterim

Köken

Köken

Yöney toplamı

Kaynaklar

Yöney Sözlük Anlamları

Yöney

Görüşler ve Yorumlar

Okuma Önerileri

Vektör

Vektör alanı

Orhan Yöney

Fazıl Osman Yöney

Vektör uzayı

Vektör hesabı

çapraz çarpım

Lie cebiri