Çifte Karmaşık Sayılar

İki tane karmaşık birimi olan ya da bir tane hiperbolik iki tane de karmaşık birimi olan kümeye ``çifte karmaşık sayılar`` kümesi denir. Bu kümede her sayı

z=a+\mathbf_1 b+ \mathbf_2 c + \mathbf_3 d

şeklinde ifade edilebilir. Ancak dörtlük sayılarla karıştırılmamalıdır. Çünkü bu kümede

\mathbf_1^2=\mathbf_2^2=-1

iken

\mathbf_3^2=1

olarak tanımlanır. Zira, bu sayılar dörtlük sayıların değişmelisi olarak anılır.

Bu maddede

\mathbf_3

, yani hiperbolik birim genellikle

\mathbf

ile gösterilecektir.

Tanım

Çifte karmaşık sayılar birkaç şekilde tanımlanabilir. En yaygın tanımı iki farklı karmaşık sayı kümesinin birleştirimi olduğu için küme ``çifte karmaşık`` sıfatını almıştır.

İki karmaşık birim sayı tanımı

İki farklı karmaşık sayı kümesi olduğunu varsayalım:

\mathbb_1=\_1 b \, | \, a,b \in \mathbb \text \mathbf_1^2=-1 \}

\mathbb_2=\_2 b \, | \, a,b \in \mathbb_1 \text \mathbf_2^2=-1 \}

Yani biri gerçel sayılardan elde ettiğimiz alışık olduğumuz karmaşık sayılar kümesi, diğeri ise alışık olduğumuz karmaşık sayılardan elde ettiğimiz daha geniş bir halka. Bu kümeye çifte karmaşık sayılar kümesi denir.

O halde,

\mathbb_2

kümesindeki her öğe,

z=a+\mathbf_1 b+ \mathbf_2 c + \mathbf_1 \mathbf_2 d

şeklinde yazılabilir. Buradaki iki birimin çarpımı

\mathbf=\mathbf_1 \mathbf_2=\mathbf_2 \mathbf_1

olarak tanımlanır ve bu sayıya hiperbolik birim sayı`` adı verilir. Açık olarak görülür ki bu birim sayı,

\mathbf^2=(\mathbf_1 \mathbf_2)^2 = \mathbf_1^2 \mathbf_2^2 = (-1)(-1)=1

özelliğini sağlar. Bu takdirde her çifte karmaşık sayı,

z=a+\mathbf_1 b+ \mathbf_2 c + \mathbf d

olarak ifade edilebilir.

Karmaşık katsayılı hiperbolik sayı tanımı

Eğer hiperbolik bir sayının tanımını

\mathbb=\ b \, | \, a,b \in \mathbb \text \mathbf^2=1 \}

gibi karmaşık katsayılı olarak alırsak her çifte karmaşık sayı

z = (a+\mathbf b) + (c + \mathbfd) \mathbf = a + \mathbf b + \mathbf c + \mathbf\mathbf d

şeklinde ifade edilecektir. Burada

\mathbf=\mathbf \mathbf=\mathbf \mathbf

ve bu takdirde

\mathbf^2=-1

olarak tanımlamakla her çifte karmaşık sayıyı

z=a+\mathbf b+ \mathbfc + \mathbf d

şeklinde ifade etmiş ve istediğimiz özellikleri sağlamış oluruz.

Ayrıca bakınız

Bölüm halkası

sayılar matematik-taslak

Kaynaklar

Vikipedi

Çifte Karmaşık Sayılar