Koordinat

Küresel koordinat sistemi, üç boyutlu uzayda nokta belirtmenin bir yoludur.

Küre üzerindeki bir nokta bu sistemde üç tane bileşenle ifade edilir, bunlar r, ${\displaystyle \theta }$ ve ${\displaystyle \phi }$' dir. Koordinatların tanımlı oldukları aralıklar ve tanımları şu şekilde verilir.

${\displaystyle r\,}$: Yarıçap P ve (0,0,0) noktası arasındaki uzaklıktır. Tanım aralığı ${\displaystyle 0\leq r<\infty }$ olarak verilir.

${\displaystyle \theta \,}$: Enlem, z-ekseni ve çap arasındaki açıdır. ${\displaystyle 0\leq \theta \leq 180^{\circ }}$ aralığında tanımlıdır. Polar açı olarak da adlandırılır.

${\displaystyle \phi \,}$: Boylam, x-ekseni ile çapın xy-düzlemine izdüşümü (${\displaystyle \rho }$) arasındaki açıdır. ${\displaystyle 0\leq \phi <360^{\circ }}$ aralığında tanımlıdır. Diğer bir adı azimütal açıdır.

Bu sistem, dünya üzerinde coğrafi konum belirlerken kullanılan sistemdir. Dünya' nın yüzeyi üzerinde her noktada yarıçap aynı olduğundan, sadece enlem ve boylam ile bir yer belirlenebilir. Ayrıca fizikte küresel yapıya sahip sistemler, (dünya, güneş, yüklü bilye vs.) ele alınırken yine küresel koordinatlara geçiş yapılır. Küresel koordinatlarla Kartezyen koordinatlar arasındaki bağıntılar şu şekildedir.

${\displaystyle x=r\sin \theta \cos \phi \,}$

${\displaystyle y=r\sin \theta \sin \phi \,}$

${\displaystyle z=r\cos \theta \,}$

Küresel koordinatlarda Laplasyen, diverjans ve gradyan Kartezyen koordinatlardakinden farklıdır. Jakobyen kullanılarak diferansiyel eleman hesaplanabileceği gibi şekilden de P noktası etrafında sonsuz küçük bir hacim elemanının büyüklüğü şu şekilde hesaplabilir.

${\displaystyle dV=(\rho d\phi )(rd\theta )dr=r^{2}\sin \theta drd\theta d\phi \,}$

Bu hacim elemanı bütün küre üzerinden integral alınarak R yarıçaplı kürenin hacmi bulunur.

${\displaystyle V=\int dV=\int _{r=0}^{R}r^{2}dr\int _{\theta =0}^{\pi }\sin \theta d\theta \int _{\phi =0}^{2\pi }d\phi ={\frac {4}{3}}\pi R^{3}}$

Kalınlığı olmayan bir hacim elemanı,alan elemanı olacağından sonsuz küçük yüzey elemanı şu şekilde ele alınır.

${\displaystyle dA=(\rho d\phi )(rd\theta )=r^{2}\sin \theta d\theta d\phi \,}$

Bu eleman bütün küre yüzeyi üzerinden integre edilirse R yarıçaplı kürenin alanı da bulunabilir.

${\displaystyle A=\int dA=R^{2}\int _{\theta =0}^{\pi }\sin \theta d\theta \int _{\phi =0}^{2\pi }d\phi =4\pi R^{2}}$

Fizikte bu integraller herhangi bir yoğunluk fonksiyonuyla verilmiş elektrik ve yerçekimi alanındaki küreler için sıklıkla çözülür.