Gerçel analizdeki Abel testi
Gerçel sayıların iki dizisi ve , şunları sağlarsa- yakınsar
- monotondur ve
o zaman,
serisi yakınsar.
Karmaşık analizdeki Abel testi
Yine Abel testi olarak bilinen oldukça yakın ilişkili yakınsaklık testi sıklıkla bir kuvvet serisinin yakınsaklık çemberinin sınırı üzerindeki yakınsaklığını kurmak için kullanılır. Daha ayrıntılı olarak, Abel testi şunu ifade eder:\lim_ a_n = 0\,
ise ve
f(z) = \sum_^\infty a_nz^n\,
serisi |z| < 1 iken yakınsarsa, |z| > 1 iken ıraksarsa, n > m için (yani başka bir deyişle çok büyük n 'ler için) katsayıları sıfır limitine doğru monoton olarak azalan pozitif gerçel sayılar ise, o zaman f(z) 'nin kuvvet serisi birim çember üzerindeki z = 1 dışında her yerde yakınsaktır. Abel testi z = 1 olduğunda uygulanamaz; bu yüzden bu noktadaki yakınsaklık ayrı bir şekilde incelenmelidir. Abel testi aynı zamanda yakınsaklık yarıçapı R ≠ 1 olan bir kuvvet serisine basit bir ζ = z/R değişken değiştirmesiyle uygulanabilir.
Abel testinin kanıtı: z birim çemberin üzerinde bir nokta ve z ≠ 1 olsun. O zaman
z = e^ \quad\Rightarrow\quad z^} - z^} = 2i\sin} \ne 0
olur; böylece, p > q > m olan herhangi iki pozitif tamsayı için
\begin 2i\sin}\left(S_p - S_q\right) & = \sum_^p a_n \left(z^} - z^}\right)\\ & = \left \left(a_ - a_n\right) z^}\right - a_z^} + a_pz^}\, \end
yazabiliriz. Sp ve Sq burada kısmi toplamlardır:
S_p = \sum_^p a_nz^n.\,
Ancak şimdi, |z| = 1 ve an 'ler n > m iken monoton olarak azalan pozitif gerçel sayılar olduğu için, ayrıca
\begin \left| 2i\sin}\left(S_p - S_q\right)\right| & = \left| \sum_^p a_n \left(z^} - z^}\right)\right| \\ & \le \left \left| \left(a_ - a_n\right) z^}\right|\right + \left| a_z^}\right| + \left| a_pz^}\right| \\ & = \left \left(a_ - a_n\right)\right +a_ + a_p \\ & = a_ - a_p + a_ + a_p = 2a_\, \end
yazabiliriz. Şimdi Cauchy yakınsaklık testini uygulayabiliriz ve f(z) 'nin kuvvet serisinin seçilmiş z ≠ 1 noktasında yakınsadığını söyleyebiliriz çünkü sin(½θ) ≠ 0 sabit bir niceliktir ve aq+1, q yeterince büyük seçilerek verilmiş herhangi bir ε > 0 'dan daha küçük yapılabilir.
Dış bağlantılar
Notlar
- Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964
