Beta Dağılımı

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında beta dağılımı [0,1] aralığında iki tane pozitif şekil parametresi (tipik olarak α ve β) ile normalize edilmiş bir sürekli olasılık dağılımları ailesidir.

Olasılık dağılımı|
isim    =Beta| 
tip    =yoğunluk|
pdf_image =|
cdf_image =|
parametreler =\alpha > 0 şekil (reel)
\beta > 0 şekil (reel)|
destek  =x \  1 icinde \!|
OYF    =\frac(1-x)^(\alpha,\beta)}\!|
YDF    =I_x(\alpha,\beta)\!|
ortalama    =\frac\!|
medyan   =|
mod    =\frac\! burada \alpha>1, \beta>1|
varyans =\frac\!|
çarpıklık  =\frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta|
basıklık  =``metine bakın``|
entropi  =``metine bakın``|
mf    =1 +\sum_^ \left(\prod_^ \frac \right) \frac|
kf    =_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\!|


Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında beta dağılımı [1] aralığında iki tane pozitif şekil parametresi (tipik olarak α ve β) ile normalize edilmiş bir sürekli olasılık dağılımları ailesidir.

Tipik karakteristikler

Olasılık yoğunluk fonksiyonu



Beta dağilim için olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle ifade edilir:

f(x;\alpha,\beta) = \frac(1-x)^ (1-u)^\, du} \!


= \frac\, x^(1-x)^\!


= \frac(\alpha,\beta)}\, x
^(1-x)^\!

Burada \Gamma bir gamma fonksiyonudur. Beta fonksiyonu, B, toplam olasılık integralinin daima bire eşit olmasını sağlamak için gerekli normalleştirme sabitidir.

Yığmalı dağılım fonksiyonu



Yığmalı dağılım fonksiyonu şudur:

F(x;\alpha,\beta) = \frac_x(\alpha,\beta)}(\alpha,\beta)} = I_x(\alpha,\beta) \!


Burada \mathrm_x(\alpha,\beta) bir tamamlanmamış beta fonksiyonu and I_x(\alpha,\beta) ise tanzim edilmiş tamamlanmamış beta fonksiyonu olurlar.

Özellikler

Momentler



Bir α ve β parametreli beta dağılımlı rassal değişken olan ``X`` için beklenen değer ve varyans formülleri şöyle verilir:

\begin
 \operatorname(X)  = & \frac \  \operatorname(X) = & \frac
\end



Çarpıklık şöyle ifade edilir:

\frac }
   {(\alpha + \beta + 2) \sqrt{\alpha \beta. \,\!


Fazladan basıklık şudur:

6\,\frac
.\,\!

Enformasyon miktarlari



İki beta dağılımı gösteren rassal değişken ``X`` ~ Beta(α, β) ve ``Y`` ~ Beta(α`, β`) olsun. ``X`` için enformasyon entropisi değeri şudur:

\begin H(X) &= \ln\mathrm(\alpha,\beta)-(\alpha-1)\psi(\alpha)-(\beta-1)\psi(\beta)+(\alpha+\beta-2)\psi(\alpha+\beta) \end \,

burada \psi bir digamma fonksiyonu olur.

Çapraz entropi şudur

H(X,Y) = \ln\mathrm(\alpha`,\beta`)-(\alpha`-1)\psi(\alpha)-(\beta`-1)\psi(\beta)+(\alpha`+\beta`-2)\psi(\alpha+\beta).\,


Bundan çıkarilir ki bu iki beta dağılımı arasındaki Kullback-Leibler ayrılması şöyledir:

D_(\alpha`,\beta`)}
               (\alpha,\beta)} -
           (\alpha`-\alpha)\psi(\alpha) - (\beta`-\beta)\psi(\beta) + 
           (\alpha`-\alpha+\beta`-\beta)\psi(\alpha+\beta)



Şekiller



Beta olasılık yoğunluk fonksiyonu iki parametrenin aldığı değişik değere göre değişik şekiller gösterir.

  • \alpha < 1,\ \beta < 1 U-sekilli (kırmızı çizgi)
  • \alpha < 1,\ \beta \geq 1 veya \alpha = 1,\ \beta > 1 kesinlikle düşüş gösterir(mavi çizgi)
    • \alpha = 1,\ \beta > 2 kesinlikle konveks
    • \alpha = 1,\ \beta = 2 bir doğrudur
    • \alpha = 1,\ 1 < \beta < 2 kesinlike konkav
  • \alpha = 1,\ \beta = 1 tekdüze dağılım
  • \alpha = 1,\ \beta < 1 veya \alpha > 1,\ \beta \leq 1 kesinlikle artış gösterir (yeşil çizgi)
    • \alpha > 2,\ \beta = 1 kesinlikle konvekstir
    • \alpha = 2,\ \beta = 1 bir doğrudur
    • 1 < \alpha < 2,\ \beta = 1 kesinlikle konkavdir
  • \alpha > 1,\ \beta > 1 tek modludur (mor ve siyah çizgiler)


Bunların yanında, eğer \alpha = \beta ise yoğunluk fonksiyonu 1/2 etrafında simetriktir (kırmızı ve mor çizgiler).

Parametre kestirimi



\bar = \frac\sum_^N x_i


ifadesi örnek ortalamasi ve

v = \frac\sum_^N (x_i - \bar)^2


ifadesi örnek varyansı olarak alınsın. Kestrim değeri bulmak için kullanılan momentler-yöntemi kurallarına göre bu parametrelerin kestirimleri sırasıyla şu ifadelerle gösterilir:

\alpha = \bar \left(\frac (1 - \bar)} - 1 \right),


\beta = (1-\bar) \left(\frac (1 - \bar)} - 1 \right).


Eğer dağılım geçerliliği 0 ve 1 aralığından başka bir aralık için isteniyorsa, diyelim \ l ile \ h aralığında, o zaman \bar terimi verilen denklemlerde

\frac-l)} , and \ v with \frac


terimi ile değiştirlmesi gerekir. [2] [3].

İlişkili dağılımlar

  • Eğer ``X`` ve ``Y`` rassal değişkenleri birbirinden bağımsız olarak Gamma dağılımı gösteriyorlarsa yani ``X`` Gamma(&alpha;, &theta;) ve ``Y`` Gamma(&beta;, &theta;) ise, o zaman


``X``&nbsp;/&nbsp;(``X``&nbsp;+&nbsp;``Y``)


ifadesinin dağılımı Beta(&alpha;,&beta;) olur.

  • Eğer ``X`` ve ``Y`` rassal değişkenleri birbirinden bağımsız olarak biri Beta dağılımı ve diğeri 2&beta; ve 2&alpha; serbestlik dereceleri ile Snedor`un F-dağılımı gösteriyorlarsa, yani ``X`` Beta (&alpha;,&beta;) ve ``Y`` `F``(2&beta;,2&alpha;) ise; o halde
Pr(``X`` &le; &alpha;/(&alpha;+x&beta;)) = Pr(``Y`` > ``x``) butun ``x``&nbsp;>&nbsp;0 için.




X^2 \sim (1/2,1) \


veya Beta dağılımının özel bir hali olan 4 parametreli güç-fonksiyonu dağılımı için

X^2 \sim (0,1,1/2,1) \


olur.

  • Subjektif mantik konusunda ele alınan ``binom kanılari`` matematiksel olarak Beta dağılımı ile aynıdırlar .


Uygulamalar

B(i, j) tamsayı değerli i ve j için, 0 ve 1 aralığında tekdüze dağılım gösteren i+j-1 sayıda bağımsız rassal değişkenden oluşan bir örneklem içindeki sayıların (en küçükten en büyüğe doğru) sıralanması sonucu elde edilen sıralama içinde (i-1)inci sırada olan değerin dağılımını gösterir. Bu halde 0 ve x aralığı içinde yığmalı olasılık (i)inci en küçük değerin xden daha küçük olmasının olasılığını gösterir. Diğer bir şekilde ifade ile, bu yığmalı olasılık ortada bulunan rassal değişkenlerden an aşağı i tanesinin xden daha küçük değer gösteremesi olayının olasılığıdır.Bu olasılık p parametreli bir binom dağılımının x`e toplanması ile elde edilir. Bu beta dağılımı ile binom dağılımı arasındaki yakın ilişkiyi açıkca gösterir.

Beta dağılımları Bayes tipi istatistik içinde çok geniş uygulama göstermektedir. Beta dağılımları (Bernoulli dahil) binom ve geometrik dağılımlar için bir sıra eşlenik-önceller sağlamaktadır. Beta(0,0) dağılımı uygunsuz öncel olduğu için bircok kere parametre değerlerinin bilinmezliğini temsil için kullanılmaktadır.

Beta dağılımı, özellikte endüstriyel mühendislik ve yöneylem araştırması bilim alanlarında, belirli bir minimum değer ile belirli bir maksimum değer aralığı içinde sınırlanmş olayların ortaya çıkması şeklindeki pratik sorunların modellenmesi için kullanılır. Özellikle CPM tipi proje idaresi ve kontrolu kuramında, beta dağılımı ve üçgensel dağılım ile birlikte özellikle olasılık gösteren aktivite uzunluklarının tahmini için kullanılmaktadır. Proje idare ve kontrolu için çok kere kısa olarak yapılan hesaplarda, belli bir aktivite uzunluğu için Beta dağılımlarının ortalama ve varyans değerleri şu şekilde kullanılır:

\begin
\mathrm(X) &  = E(X)= \frac, \ \mathrm(X) &  = \frac,
\end

burada a minimum, c maksimum ve b en mümkün olabilir değerdir.

Kaynak

  • Kaynak wiki
|url=http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Beta_distribution|tarih=Mart 2008 |dil=İngilizce|madde=Beta_distribution

Dışsal bağlantılar



Olasılık Dağılımları

Kaynaklar

Vikipedi

İlgili konuları ara


Görüşler

Bu konuda henüz görüş yazılmamış.
Gürüş/yorum alanı gerekli.
Markdown kodları kullanılabilir.

Beta Dağılımı ilgili konular

  • Bernoulli dağılımı

    Bernoulli dağılımı olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında, p olasılıkla başarı ile 1 değeri alan ve olasılıkla başarısızlı
  • Beta dağılımı

    Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında beta dağılımı [0,1] aralığında iki tane pozitif şekil parametresi (tipik olarak α ve β) i
  • F-dağılımı

    Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, F-dağılımı bir sürekli olasılık dağılımdır. Bu dağılımı ilk bulan istatistikçiler
  • Negatif binom dağılımı

    Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarinda negatif binom dağılım bir ayrık olasılık dağılım tipi olup Pascal dağılımı ve Polya da
  • Olasılık dağılımı

    olasılık dağılımı bir rassal olayın ortaya çıkabilmesi için değerleri ve olasılıkları tanımlar. Değerler olay için mümkün olan tüm
  • Rademacher dağılımı

    Olasılık kuramı ve istatistik bilim dalları içinde Rademacher dağılımı, bu dağılımı ilk inceleyen Hans Rademacher'in adı verilmiş, bir
  • Skellam dağılımı

    Skellam dağılımı bir ayrık olasılık dağılım tipidir. Skellam dağılımı iki tane (aralarında korelasyon bulunabilen ve) beklenen değerl
  • İstatistiksel terimler, kavramlar ve konular listesi

    İstatistiksel terimler, kavramlar ve konular listesi matematik biliminin çok önemli bir alt-bölümü olan istatistik biliminde içeriğinde buluna
  • Cauchy dağılımı

    Cauchy-Lorentz dağılımı bir sürekli olasılık dağılımı olup, bu dağılımı ilk ortaya atan Augustin Cauchy ve Hendrik Lorentz anısına ad
  • Weibull dağılımı

    Weibull dağılımı (Waloddi Weibull anısına isimlendirilmiş) ) bir sürekli olasılık dağılımı olup olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle
Beta Dağılımı
Beta dağılımı