Türkçe Bilgi: Beta dağılımı

Olasılık dağılımı|

isim    =Beta|

tip    =yoğunluk|

pdf_image =|

cdf_image =|

parametreler = $\alpha > 0$  şekil (reel)
 $\beta > 0$  şekil (reel)|

destek  = $icinde \!$ |

OYF    = $\frac(1-x)^(\alpha,\beta)}\!$ |

YDF    = $I_x(\alpha,\beta)\!$ |

ortalama    = $\frac\!$ |

medyan   =|

mod    = $\frac\!$  burada  $\alpha>1, \beta>1$ |

varyans = $\frac\!$ |

çarpıklık  = $\frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta$ |

basıklık  =``metine bakın``|

entropi  =``metine bakın``|

mf    = $1 +\sum_^ \left(\prod_^ \frac \right) \frac$ |

kf    = $_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\!$ |

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında beta dağılımı [1] aralığında iki tane pozitif şekil parametresi (tipik olarak α ve β) ile normalize edilmiş bir sürekli olasılık dağılımları ailesidir.

Tipik karakteristikler

Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Beta dağilim için olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle ifade edilir:

f(x;\alpha,\beta) = \frac(1-x)^ (1-u)^\, du} \!

= \frac\, x^(1-x)^\!

= \frac(\alpha,\beta)}\, x

^(1-x)^\!

Burada

\Gamma

bir gamma fonksiyonudur. Beta fonksiyonu, B, toplam olasılık integralinin daima bire eşit olmasını sağlamak için gerekli normalleştirme sabitidir.

Yığmalı dağılım fonksiyonu

Yığmalı dağılım fonksiyonu şudur:

F(x;\alpha,\beta) = \frac_x(\alpha,\beta)}(\alpha,\beta)} = I_x(\alpha,\beta) \!

Burada

\mathrm_x(\alpha,\beta)

bir tamamlanmamış beta fonksiyonu and

I_x(\alpha,\beta)

ise tanzim edilmiş tamamlanmamış beta fonksiyonu olurlar.

Özellikler

Momentler

Bir α ve β parametreli beta dağılımlı rassal değişken olan ``X`` için beklenen değer ve varyans formülleri şöyle verilir:

\begin

 \operatorname(X)  = & \frac \  \operatorname(X) = & \frac

\end

Çarpıklık şöyle ifade edilir:

\frac }

   {(\alpha + \beta + 2) \sqrt{\alpha \beta. \,\!

Fazladan basıklık şudur:

6\,\frac

.\,\!

Enformasyon miktarlari

İki beta dağılımı gösteren rassal değişken ``X`` ~ Beta(α, β) ve ``Y`` ~ Beta(α`, β`) olsun. ``X`` için enformasyon entropisi değeri şudur:

\begin H(X) &= \ln\mathrm(\alpha,\beta)-(\alpha-1)\psi(\alpha)-(\beta-1)\psi(\beta)+(\alpha+\beta-2)\psi(\alpha+\beta) \end \,

burada

\psi

bir digamma fonksiyonu olur.

Çapraz entropi şudur

H(X,Y) = \ln\mathrm(\alpha`,\beta`)-(\alpha`-1)\psi(\alpha)-(\beta`-1)\psi(\beta)+(\alpha`+\beta`-2)\psi(\alpha+\beta).\,

Bundan çıkarilir ki bu iki beta dağılımı arasındaki Kullback-Leibler ayrılması şöyledir:

D_(\alpha`,\beta`)}

               (\alpha,\beta)} -

           (\alpha`-\alpha)\psi(\alpha) - (\beta`-\beta)\psi(\beta) +

           (\alpha`-\alpha+\beta`-\beta)\psi(\alpha+\beta)

Şekiller

Beta olasılık yoğunluk fonksiyonu iki parametrenin aldığı değişik değere göre değişik şekiller gösterir.

$\alpha < 1,\ \beta < 1$ U-sekilli (kırmızı çizgi)

$\alpha < 1,\ \beta \geq 1$ veya $\alpha = 1,\ \beta > 1$ kesinlikle düşüş gösterir(mavi çizgi)

$\alpha = 1,\ \beta > 2$ kesinlikle konveks
$\alpha = 1,\ \beta = 2$ bir doğrudur
$\alpha = 1,\ 1 < \beta < 2$ kesinlike konkav

$\alpha = 1,\ \beta = 1$ tekdüze dağılım
$\alpha = 1,\ \beta < 1$ veya $\alpha > 1,\ \beta \leq 1$ kesinlikle artış gösterir (yeşil çizgi)

$\alpha > 2,\ \beta = 1$ kesinlikle konvekstir
$\alpha = 2,\ \beta = 1$ bir doğrudur
$1 < \alpha < 2,\ \beta = 1$ kesinlikle konkavdir

$\alpha > 1,\ \beta > 1$ tek modludur (mor ve siyah çizgiler)

Bunların yanında, eğer

\alpha = \beta

ise yoğunluk fonksiyonu 1/2 etrafında simetriktir (kırmızı ve mor çizgiler).

Parametre kestirimi

\bar = \frac\sum_^N x_i

ifadesi örnek ortalamasi ve

v = \frac\sum_^N (x_i - \bar)^2

ifadesi örnek varyansı olarak alınsın. Kestrim değeri bulmak için kullanılan momentler-yöntemi kurallarına göre bu parametrelerin kestirimleri sırasıyla şu ifadelerle gösterilir:

\alpha = \bar \left(\frac (1 - \bar)} - 1 \right),

\beta = (1-\bar) \left(\frac (1 - \bar)} - 1 \right).

Eğer dağılım geçerliliği 0 ve 1 aralığından başka bir aralık için isteniyorsa, diyelim

\ l

ile

\ h

aralığında, o zaman

\bar

terimi verilen denklemlerde

\frac-l)} ,

and

\ v

with

\frac

terimi ile değiştirlmesi gerekir. [2] [3].

İlişkili dağılımlar

Binom dağılımı ile ilişki aşağıda belirtilmiştir.

Beta(1,1) standard bir sürekli tekdüze dağılım ile aynıdır.

Eğer ``X`` ve ``Y`` rassal değişkenleri birbirinden bağımsız olarak Gamma dağılımı gösteriyorlarsa yani ``X`` Gamma(α, θ) ve ``Y`` Gamma(β, θ) ise, o zaman

``X`` / (``X`` + ``Y``)

ifadesinin dağılımı Beta(α,β) olur.

Eğer ``X`` ve ``Y`` rassal değişkenleri birbirinden bağımsız olarak biri Beta dağılımı ve diğeri 2β ve 2α serbestlik dereceleri ile Snedor`un F-dağılımı gösteriyorlarsa, yani ``X`` Beta (α,β) ve ``Y`` `F``(2β,2α) ise; o halde

Pr(``X`` ≤ α/(α+xβ)) = Pr(``Y`` > ``x``) butun ``x`` > 0 için.

Beta dağılımı sadece iki paramatresi olan bir Dirichlet dağılıminin özel halidir.

Kumaraswamy dağılımi beta dağılımına benzerlik gösterir.

Eğer $X \sim (0, 1]\,$ ifadesi bir tekdüze dağılım gösteriyorsa, o halde

X^2 \sim (1/2,1) \

veya Beta dağılımının özel bir hali olan 4 parametreli güç-fonksiyonu dağılımı için

X^2 \sim (0,1,1/2,1) \

olur.

Subjektif mantik konusunda ele alınan ``binom kanılari`` matematiksel olarak Beta dağılımı ile aynıdırlar .

Uygulamalar

B(i, j) tamsayı değerli i ve j için, 0 ve 1 aralığında tekdüze dağılım gösteren i+j-1 sayıda bağımsız rassal değişkenden oluşan bir örneklem içindeki sayıların (en küçükten en büyüğe doğru) sıralanması sonucu elde edilen sıralama içinde (i-1)inci sırada olan değerin dağılımını gösterir. Bu halde 0 ve x aralığı içinde yığmalı olasılık (i)inci en küçük değerin xden daha küçük olmasının olasılığını gösterir. Diğer bir şekilde ifade ile, bu yığmalı olasılık ortada bulunan rassal değişkenlerden an aşağı i tanesinin xden daha küçük değer gösteremesi olayının olasılığıdır.Bu olasılık p parametreli bir binom dağılımının x`e toplanması ile elde edilir. Bu beta dağılımı ile binom dağılımı arasındaki yakın ilişkiyi açıkca gösterir.

Beta dağılımları Bayes tipi istatistik içinde çok geniş uygulama göstermektedir. Beta dağılımları (Bernoulli dahil) binom ve geometrik dağılımlar için bir sıra eşlenik-önceller sağlamaktadır. Beta(0,0) dağılımı uygunsuz öncel olduğu için bircok kere parametre değerlerinin bilinmezliğini temsil için kullanılmaktadır.

Beta dağılımı, özellikte endüstriyel mühendislik ve yöneylem araştırması bilim alanlarında, belirli bir minimum değer ile belirli bir maksimum değer aralığı içinde sınırlanmş olayların ortaya çıkması şeklindeki pratik sorunların modellenmesi için kullanılır. Özellikle CPM tipi proje idaresi ve kontrolu kuramında, beta dağılımı ve üçgensel dağılım ile birlikte özellikle olasılık gösteren aktivite uzunluklarının tahmini için kullanılmaktadır. Proje idare ve kontrolu için çok kere kısa olarak yapılan hesaplarda, belli bir aktivite uzunluğu için Beta dağılımlarının ortalama ve varyans değerleri şu şekilde kullanılır:

\begin

\mathrm(X) &  = E(X)= \frac, \ \mathrm(X) &  = \frac,

\end

burada a minimum, c maksimum ve b en mümkün olabilir değerdir.

Kaynak

Kaynak wiki

|url=http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Beta_distribution|tarih=Mart 2008 |dil=İngilizce|madde=Beta_distribution

Dışsal bağlantılar

Beta dağılımı, MathWorld.
"Beta dağılımları" by Fiona Maclachlan, Wolfram Gösteri Projesi, 2007.
Beta dağılımı - Genel görüş ve bir örnek, xycoon.com
Beta dağılımı, brighton-webs.co.uk

Olasılık Dağılımları

Kaynaklar

Vikipedi

Beta Dağılımı

Tipik karakteristikler

Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Yığmalı dağılım fonksiyonu

Özellikler

Momentler

Enformasyon miktarlari

Şekiller

Parametre kestirimi

İlişkili dağılımlar

Uygulamalar

Kaynak

Dışsal bağlantılar

Kaynaklar

İlgili konular

Beta

Olasılık dağılımı

Beta fonksiyonu

Bernoulli dağılımı

Geometrik dağılım

Student'in t dağılımı

Gamma dağılımı

Üstel dağılım

Beta Dağılımı

Beta Dağılımı Hakkında Detaylı Bilgi

Tipik karakteristikler

Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Yığmalı dağılım fonksiyonu

Özellikler

Momentler

Enformasyon miktarlari

Şekiller

Parametre kestirimi

İlişkili dağılımlar

Uygulamalar

Kaynak

Dışsal bağlantılar

Kaynaklar

İlgili konular

Görüşler ve Yorumlar

Okuma Önerileri

Beta

Olasılık dağılımı

Beta fonksiyonu

Bernoulli dağılımı

Geometrik dağılım

Student'in t dağılımı

Gamma dağılımı

Üstel dağılım