Birleşme özelliği

Küme kuramında, birleşme, bir kümenin tüm ögelerinin topluluğudur ve ∪ ile sembolize edilir.

Birleşme özelliği

düzenle|Eylül 2007



<math>\star</math>, ``X`` kümesi üzerine bir ikili işlem ise ve her <math>x,\, y, z \in X</math> için <math>(x\star y)\star z = x \star (y \star z)</math> ise, <math>\star</math> ikili işleminin birleşmeli işlem olduğu söylenir. Toplama, çarpma gibi cebirde rastlanan işlemlerin birçoğu birleşme özelliğini sağlar. Ancak çıkarma işlemi (tamsayılar kümesi üzerinde) birleşmeli işlem değildir çünkü <math>x-(y-z)</math> sayısı eğer z, 0`a eşit değilse <math>(x-y)-z</math>`ye eşit değildir.

Birleşme özelliği sağlayan yapılarda işlemler yapılırken parantez gerekmez. Bu yüzden <math>(x\star y)\star z</math> ve <math>x \star (y \star z)</math> yerine, <math>x\star y \star z</math> yazılır. Aynı şey dört eleman çarpılırken de geçerlidir: Birleşme özelliğini sağlayan bir işlem sözkonusu olduğunda, <math>(x\star y)\star (z\star t)</math>, <math>(x\star (y\star z))\star t</math>, <math>x\star ((y\star z))\star t)</math>, gibi çarpımlar parantezsiz olarak <math>x\star y\star z\star t</math> olarak yazılır.

Birleşme özelliğini sağlamayan yapılarda <math>x^3</math> elemanını tanımlamak bile sorun olabilir, nitekim bu eleman <math>x\star (x\star x)</math> olarak tanımlanabileceği gibi <math>(x\star x)\star x</math> olarak da tanımlanabilir. <math>x^4</math> için çok daha fazla seçenek olabilir.

Matematiğin en önemli işlemlerinden biri fonksiyonların bileşme işlemidir. Eğer ``X`` bir kümeyse, Fonk(``X``, ``X``), ``X`` kümesinden ``X`` kümesine giden fonksiyonlar kümesi olsun. Eğer <math>f,\, g\in </math> Fonk(``X``, ``X``) ise, gene ``X`` kümesinden ``X`` kümesine giden ve adına "``f`` ile ``g`` fonksiyonlarının bileşkesi" denilen ``f`` o ``g`` fonksiyonunu şöyle tanımlayalım: Her <math>x\in X</math> için, (``f`` o ``g``)(``x``) = ``f``(``g``(``x``)) olsun. Bu, Fonk(``X``, ``X``) kümesi üzerine bir işlemdir. Bu işlemin birleşme özelliği vardır.

Cebirde ender olsa da birleşme özelliğini sağlamayan işlemler önemli olabilir. Örneğin Lie cebirlerindeki köşeli parantez işlemi birleşmeli değildir. Öte yandan Lie cebirlerinde köşeli parantez işlemi, Jacobi eşitliği sayesinde, birazcık olsun birleşme özelliğini sağlar.

Kaynaklar

Vikipedi

İlgili konuları ara

Yanıtlar