Büyüklük
Verilen bir A kümesinin en az B kümesi kadar büyük olması B`den A`ya bir birebir fonksiyonun var olması şeklinde tanımlanır ( yazılır). Böylelikle B`nin bir kopyasının A`nın içersinde bulunabiliyor olması sağlanır. Eğer aynı şekilde B`den de A`ya bir birebir fonksiyon varsa o zaman bu iki küme eşit büyüklükte denir ( yazılır).- Örnek olarak Çift Tam Sayılar Kümesi`nin () ile Tam Sayılar Kümesi düşünülebilir. `nin elemanları `nin içersinde kendi kendilerine gönderilir.
İspat
Reel sayıların sonlu veya sonsuz uzunlukta ondalık sayılar olarak yazılabileceği bilinir. Diyelim ki Cantor`un iddiası yanlış ve de reel sayılarla doğal sayılar birebir eşlenebiliyor. O zaman sadece 0 la 1 arasındaki reel sayılarla (bütün) doğal sayıları birebir eşlemek de mümkündür. Böyle bir eşlemeyi alalım ve 0 la 1 arasındaki reel sayıları verilen eşlemeye göre sıralayarak bir liste elde edelim. Şimdi 0 la 1 arasında öyle bir reel sayı kurgulayacağız ki bu sayının bu listede yer alması mümkün olmayacak. Bu sayıya C adını verelim ve onu şu kurala göre oluşturalım: birinci sayının ilk ondalık basamağına bakalım ve buradaki rakamdan farklı herhangi bir rakamı seçip C sayısının ilk basamağı olarak yazalım, aynı şekilde C`nin ikinci, üçüncü,... basamaklarını da oluşturalım. Mesela eğer 0 la 1 arasındaki reel sayılar aşağıdaki gibi sıralanmışsa:1) 0,13567.......
^
2) 0,25678.......
^
3) 0,00212.......
^
4) 0,14221.......
^
.
.
.
C sayısının ilk basamağının 1`den farklı, 2. basamağının 5`ten farklı, 3. basamağının 2`den farklı, 4. basamağının gene 2`den farklı birer rakam olarak seçeriz.
Bu noktada fark etmemiz gereken şey, C`nin kendisi bir reel sayı olduğu halde bu listede yer alan her sayıdan en az bir ondalık basamakta (daha doğrusu o sayı listemizde kaçıncı sırada yer alıyorsa o basamakta) farklı olduğu ve dolayısıyla bu listede yer alamayacağı. Demek ki varsaydığımız birebir eşleme mümkün değil ve aslında reel sayılar kümesindeki eleman sayısı doğal sayılar kümesindeki eleman sayısından daha fazla.
