Türkçe Bilgi logo TürkçeBilgi

Değişken Değiştirme

Kısaca: Değişken değiştirme, karmaşık problemleri basitleştirmek için kullanılan değişken değiştirme yöntemidir. Bu yöntemde ham (eski) değişken yerine yeni (daha basit) değişken kullanılır. Problem çözüldükten sonra yeni değişken ile elde edilen sonuç, ham değişkende yerine konur. ...devamı ☟

Değişken değiştirme, karmaşık problemleri basitleştirmek için kullanılan değişken değiştirme yöntemidir. Bu yöntemde ham (eski) değişken yerine yeni (daha basit) değişken kullanılır. Problem çözüldükten sonra yeni değişken ile elde edilen sonuç, ham değişkende yerine konur. Basit örnek Sistem aşağıdaki denklemlerden oluşsun. :xy+x+y=71 (Denklem I) :x^2y+xy^2=880 (Denklem II) Burada, x ve y pozitif tamsayı ve x>y olsun. Bu sistemin normal çözümü zor değildir. Fakat biraz yorucu olabilir. (Denklem II)'yi şöyle yazabiliriz; :xy(x+y)=880 (Denklem III) Burada s=x+y ve t=xy değişken değişimlerini uygulayalım. Böylece sistemde (Denklem I)'e göre s+t=71 ve (Denklem II)'ye göre st=880 olur. Bunun çözümü; :(s,t)=(16,55) veya, (I.çift) : (s,t)=(55,16)'dır. (II.çift) (I.çift)'i ele alırsak; x+y=16 ve xy=55 olur. Bu da, (x,y)=(11,5)'i verir. (II.çift)'i ele alırsak; x+y=55 ve xy=16 olur. Bunun çözümü yoktur. Sonuçta çözüm; (x,y)=(11,5)'dir. Biçimsel tanıtım A, B diferansiyellenebilir çokkatlı ve \Phi: A \rightarrow B aralarında bir C^r-diffeomorfizması olsun. Burada: \Phi, r kere diferansiyellenebilen, A'dan B'ye bir örten fonksiyon olsun. Bunu tersi yine r kere diferansiyellenebilen B'den A'ya bir fonksiyondur. Burada r, herhangi bir doğal sayı (veya sıfır), \infty (düzgün) veya \omega (analitik fonksiyondur). \Phi, düzenli koordinat sistemi olarak adlandırılır. Burada düzenli, \Phi'nin C^r-siz olduğunu ifade eder. ==Diğer örneklerKoordinat dönüşümü Silindirik koordinat sistemi kullanıldığında bazı sistemlerin çözümü kolaylaşır. Örneğin aşağıdaki denklem; :U(x, y, z) := (x^2 + y^2) \sqrt } = 0. bazı fiziksel problemlerdeki bir potansiyel enerji fonksiyonu olabilir. Bunun çözümü hemen görülemeyebilir. Fakat aşağıdaki biçime dönüştürülürse; :\displaystyle (x, y, z) = \Phi(r, \theta, z), burada \displaystyle \Phi(r, \theta, z) = (r \cos(\theta), r \sin(\theta), z) olur. Eğer \theta, 2\pi periyodunda örneğin 2\pi döndürülürse, \Phi örten fonksiyon olmaz. Bu yüzden \Phi, örneğin (0, \infty] \times 2\pi) \times [-\infty, \infty aralığında sınırlanabilir. \Phi, orjinde örten fonksiyon olmasaydı r = 0'ın nasıl hesaba katılmadığına dikkat edin (\theta herhangi bir değer alabilir ve nokta (0, 0, z) olurdu). Ardından yeni ifadede oluşan tüm asıl değişkenler \Phi ile değiştirilir ve \sin^2 x + \cos^2 x = 1 kullanılır. Böylece :V(r, \theta, z) = r^2 \sqrt } = r^2 \sqrt = r^2 \sin\theta elde edilir. Şimdi çözüm \sin(\theta) = 0 için bulunabilir. Çünkü \theta = 0 veya \theta = \pi'dir. \Phi'nin tersi kullanılırsa, x \not= 0 iken y = 0 olur. y = 0 için fonksiyonun orjin haricinde yok olduğunu gördük. Burada r = 0 aldığımıza dikkat edin. Her ne kadar asıl problemde bir çözüm olmazsa bile, orjin de bir çözümdü. Burada \Phi'nin örten fonksiyonu çok önemlidir.

Diferansiyel alma

Zincir kuralı, karmaşık diferansiyel denklemleri basitleştirmek için kullanılır. Örneğin aşağıdaki denklemin türevini hesaplamak için; :\frac\left(\sin(x^2)\right)\, x2 = u şeklinde değişken değişimi yapılabilir. Ardından zincir kuralı ile: :\frac = \frac \frac = \frac\left(u\right) \frac = \frac\left(x^2\right) \frac = 2 x \frac\, böylece denklem aşağıdaki biçime dönüşür; :\frac\left(\sin(x^2)\right) = 2 x \frac\left(\sin(u)\right) = 2 x \cos(x^2)\, Burada son adım u yerine x2 yazmaktır.

İntegral alma

Zor integraller değişken değiştirerek hesaplanabilir. Burada yerine koyarak integralleme yapılır ve yukarıdaki zincir kuralı] kullanılır. Zor integralleri hesaplamak için Jakobi matris ve determinantı kullanılarak değişken değiştirilir. Böylece denklem koordinat sistemlerine dönüştürülür.

Diferansiyel denklemler

Diferansiyel ve integral alırken kullanılan değişken değiştirme yöntemi kalkülüste öğretilir. Değişken değiştirmenin çok geniş kullanımı diferansiyel denklemlerde ortaya çıkar. Buradaki bağımsız değişken zincir kuralı kullanılarak değiştirilebilir veya bağımlı değişkenler bazı diferansiyellerin alınması sonucunda değiştirilir. Can alıcı değişiklikler, bağımlı ve bağımsız değişkenlerin, nokta ve bağlantı dönüşümlerinde katıştırılmasıdır. Bu çok karmaşıktır, fakat bir o kadar da rahattır.

Kaynaklar

Vikipedi

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.

Yer değiştirme Akımı
6 yıl önce

Elektromanyetizmada yer değiştirme akımı elektrik yer değiştirme alanının değişim oranıyla tanımlanan bir niceliktir. Yer değiştirme akımının birimi akım...
Gauss fonksiyonunun integrali
6 yıl önce

integral dışına çıkartılır. Ardından, x to y = x + b biçiminde değişken değiştirme yapılırsa integral şöyle olur: a ∫ − ∞ ∞ e − y 2 / c 2 d y , {\displaystyle...
Şekil değiştirme hızı
6 yıl önce

Şekil değiştirme hızı, malzeme bilimi açısından, malzeme şekildeki değişimin zamana göre ifadesidir ve ϵ ˙ {\displaystyle {\dot {\epsilon }}} ile gösterilir:...
Yerleri Değiştirme
6 yıl önce

Yerleri Değiştirme (İngilizce: Changing Places), İngiliz roman yazarı David Lodge'ın 1975 yılında yazdığı kampüs romanları serisinin ilkidir. Eserin alt...
Tarih değiştirme çizgisi
2 yıl önce

Uluslararası gün çizgisi ya da tarih değiştirme çizgisi, başlangıç meridyeninin 180° doğusunda ya da batısında bulunan meridyen dairesine verilen addır...

Tarih değiştirme çizgisi, Coğrafya, Meridyen, Taslak
S-VT
6 yıl önce

Timing(Sıralı Subap Zamanlaması), Mazda tarafından geliştirilmiş olan değişken subap zamanlaması düzeneği. İlk olarak 1998 yılında Mazda ZL ve ZL-DE motorlarında...
Entalpi
2 yıl önce

sıcaklıktan mevcut sıcaklığına yükseltilmesi için yüklenen ısılarla faz değiştirme ısılarının toplamına eşittir. Kimyasal tepkimelerde, girenlerle ürünler...
İntegral
2 yıl önce

*kml). Değişken değiştirme, karmaşık problemleri basitleştirmek için kullanılan değişken değiştirme yöntemidir. Bu yöntemde ham (eski) değişken yerine...