Dirac delta fonksiyonu

Adını Paul Dirac' tan alan Dirac delta fonksiyonu tek boyutta

Dirac delta fonksiyonu

400px|right|thumb|Dirac delta fonksiyonunun gösterimi.

Adını Paul Dirac` tan alan Dirac delta fonksiyonu tek boyutta

<math>\delta(x-x_0) = \begin \infty, & x=x_0 \\ 0, & x \neq x_0 \end</math>

şeklinde tanımlıdır. Bu gösterime uyacak bütün matematik temsillerine delta fonksiyonu veya delta fonksiyonunun temsili denir. Delta fonksiyonu n boyuta genellenebilir. Gösterimi ise <math>\delta^n(\vec x-\vec x_0)</math> şeklinde olur. Burada x ve x<sub>0</sub> n boyutlu vektörlerdir. Diğer taraftan n boyutta delta fonksiyonu her bir boyuttaki delta fonksiyonlarının çarpımı şeklinde de yazılabilir. Örneğin 3 boyutta <math>\delta^3(\vec x-\vec x_0)=\delta(x-x_0)\delta(y-y_0)\delta(z-z_0)</math>

Dirac-Delta fonksiyonu basamak fonksiyonunun türevidir. <math>\delta (x)=\frac</math>

Delta fonksiyonunun bazı özellikleri:

  • <math>\int_^\infty f(x)\delta(x-x_0)dx=f(x_0)</math>
  • <math>\delta(kx)=\frac\delta(x)</math>
  • <math>\delta(u(x))=\sum_i\frac</math> burada <math>x_i</math>, u(x) fonksiyonunun kökleridir.


Bazı delta temsilleri:

  • <math>\delta(x)= \lim_ \frac</math>
  • <math>\delta(x)= \lim_ \frace^{4\sigma^2</math>
  • <math>\delta(x)= \lim_ \frac\sin\left (\frac\right)</math>


Bu temsillerin normalizasyon katsayıları kontür integrali alınarak bulunabilir. <math>\frac\oint_\delta(z)dz=1</math>

başlangıç noktaları ve genlikleri aynı ancak frekansları farklı sonsuz sayıda sinüsoidalin maksimum genlikleri tek bir noktada üst üste gelir ya da çakışır, bu nokta dirac fonksiyonunun kendisidir.

Kaynaklar

Vikipedi

İlgili konuları ara

Yanıtlar