Türkçe Bilgi logo TürkçeBilgi

Dirichlet Serisi

Kısaca: Dirichlet serisi ...devamı ☟

Dirichlet serisi :\sum_^ \frac biçimindeki herhangi bir seriyi ifade etmektedir. Burada s ve an (n = 1, 2, 3, …) karmaşık sayılardır. Bu ifade genel Dirichlet serisinin özel bir durumudur. Dirichlet serileri çözümlemeli sayı kuramında önemli bir yere sahiptir. Riemann zeta işlevinin en ünlü tanımı Dirichlet L-işlevlerinde olduğu gibi Dirichlet serilerine gerek duymaktadır. Seri, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet'ye adanmıştır. Örnekler En ünlü Dirichlet serisi :\zeta(s)=\sum_^ \frac Riemann zeta işlevidir. Bir diğeri :\frac=\sum_^ \frac biçiminde ifade edilen seridir. Burada μ(n) Möbius işlevini belirtmektedir. Bunlar ve aşağıda sıralanan serilerin büyük bir bölümü bilinen serilere Möbius evirtimi ve Dirichlet katlaması uygulanarak elde edilebilmektedir. Örneğin, \scriptstyle\chi(n) bir Dirichlet karakteri olmak koşuluyla :\frac=\sum_^ \frac ifadesine ulaşılır. Burada L(\chi,s) bir Dirichlet L-işlevini göstermektedir. Diğer özdeşlikler ise şunlardır: φ(n) totient olmak koşuluyla :\frac=\sum_^ \frac ve :\zeta(s) \zeta(s-a)=\sum_^ \frac(n)} :\frac =\sum_^ \frac Burada σa(n) bölen işlevi göstermektedir. Bu işlevi içeren diğer özdeşlikler : \frac=\sum_^\frac : \frac=\sum_^\frac olarak yazılabilir. Zeta işlevinin logaritması :\log \zeta(s)=\sum_^\infty \frac\,\frac biçiminde tanımlanmaktadır. Bu ifade Re(s)>1 için geçerlidir. \scriptstyle \Lambda(n) von Mangoldt işlevini göstermektedir. Buradan logaritmik türev :\frac = -\sum_^\infty \frac olarak hesaplanır. Liouville işlevi (\scriptstyle\lambda(n)) kullanılarak :\frac = \sum_^\infty \frac ifadesine ulaşılır. Ramanujan toplamı da benzer bir örnek sunmaktadır. :\frac(m)}=\sum_^\infty\frac Dirichlet serisinin analitik özellikleri: Yakınsaklık yatay ekseni Karmaşık sayılar kümesinde tanımlı n ∈ N işlevi için : f(s) = \sum_^\infty \frac ifadesi karmaşık değişken s'nin bir işlevi olarak tanımlanabilmektedir. n ∈ N bir sınırlı seriyse buna karşılık gelen f Dirichlet serisi s'nin yarı açık düzleminde mutlak yakınsar (Re(s) > 1 olmak koşuluyla). Genel olarak, an = O(nk) eşitliği sağlanıyorsa seri Re(s)>k+1 yarı düzleminde mutlak yakınsar. an + an + 1 + ... + an + k toplamlar kümesi n'de sınırlı ve k ≥ 0 ise yukarıdaki sonsuz seri Re(s) > 0 koşulunu sağlayacak biçimde yakınsar. Her iki durumda da f, yarı açık düzlemde tanımlı bir analitik işlevdir. Bir Dirichlet serisinin yakınsaklık yatay ekseni karmaşık düzlemdeki dik doğrunun gerçel ekseni kestiği nokta olarak tanımlanmaktadır. Böylece, bu noktanın sağında kalan bölge yakınsaklığı, solunda kalan bölge ıraksaklığı simgeler. Bu, üs serisindeki yakınsaklık yarıçapına benzer bir kavramdır. Türevleri :F(s) =\sum_^\infty \frac eşitliği sağlanıyorsa :F'(s) =\sum_^\infty \frac ifadesi geçerlidir. Bir ƒ(n) tümüyle çarpımsal işlevi tanımlanabiliyor ve seri Re(s)>σ0 için yakınsıyorsa :\frac = - \sum_^\infty \frac ifadesi Re(s)>σ0 için yakınsar. Burada \scriptstyle\Lambda(n) von Mangoldt işlevini göstermektedir. Çarpımları : F(s)= \sum_^ f(n)n^ ve : G(s)= \sum_^ g(n)n^ olduğu varsayılsın. F(s) ve G(s), s > a ve s > b için mutlak yakınsak ise : \frac\int_^\,F(a+it)G(b-it)\,dt= \sum_^ f(n)g(n)n^ \textT \sim \infty ifadesine ulaşılır. a = b ve ƒ(n) = g(n) eşitlikleri sağlanıyorsa : \frac\int_^|F(a+it)|^ dt= \sum_^ [1]^n^ \text T \sim \infty sonucu elde edilir. İntegral dönüşümleri Dirichlet serisinin Mellin dönüşümü Perron formülüyle hesaplanabilmektedir. Ayrıca bakınız * Genel Dirichlet serisi * Euler çarpımı * * G. H. Hardy & Marcel Riesz, The general theory of Dirichlet's series, Cambridge Tracts in Mathematics, No. 18 (Cambridge University Press, 1915) * The general theory of Dirichlet's series, G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. Cornell University Library Digital Collections

Kaynaklar

Vikipedi

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.