Türkçe Bilgi: doğrusal denklem

Doğrusal ``(Lineer)`` Denklem terimlerinin her biri ya birinci dereceden değişken ya da bir sabit olan denklemlerdir. Bu tür denklemler aynı zamanda birinci dereceden bir polinom belirtirler. Böyle denklemlere "doğrusal" denmesinin nedeni içerdikleri terim ve değişkenlerin sayısına bağlı olarak (n) düzlemde ya da uzayda (ya da n-boyutlu ortam) bir doğru belirtmesindendir. Doğrusal denklemlerin en yaygını bir

x

y

değişkeni içeren aşağıdaki formdur:

y = mx + b.\,

Burada,

m

sabiti doğrunun eğimini belirler; $b$ sabiti ise denklemin x ve y eksenlerini keseceği noktaları belirler (yani

m

sabiti değişmesi fonksiyonun artış miktarını etkilerken

b

sabitinin değişmesi doğrunun düzlemde ötelenmesine neden olur). Aynı terimde iki değişken barındıran ya da değişken terimin derecesi 1`den farklı olan denklemler:

x^2

ya da

y^1}/{3

(terimler birinci dereceden ya da bir sabit olmadığından) ve

xy

(tek bir terim çift değişken içerdiğinden) doğrusal değildir.

Örnekler

İki değişkenli bazı doğrusal denklem örnekleri:

x + 2y = 10,\,

3a + 472b = 10b + 37,\,

2x + y -5 = -7x + 4y +3.\,

İki Boyutlu Doğrusal Denklemler

Aşağıdaki formlar basit matematik bilgisiyle yazılabilecek 2 boyutlu doğrusal denklem örnekleridir. Burada büyük harfler sabitlerin

x

y

`ler değişkenlerin yerine kullanılmıştır.

Genel form

Ax + By + C = 0,\,

Hem ``A`` hem ``Bnin sıfıra eşit olmadığı durumalrda denklem genelde ``A`` a‰¥ 0 olacak şekilde yazılır. Denklemin grafiği bir doğru belirtir. ``A`` sıfır olmadıkça denklem x eksenini değeri -``C``/``A`` olan bir a noktasında keser, ``B`` sıfır olmadıkça denklem y eksenini değeri -``C``/``B`` olan bir b noktasında keser. ``A``/``B`` ise denklemin eğimini (m`yi) verir.

Standart form

Ax + By = C,\,

``A`` ve ``B`` sıfır olmadıkça ``A``, ``B``, ve ``C`` en büyük ortak çarpanı 1 olan tamsayılardan seçilir. Genelde ``A`` a‰¥ 0`dir. ``A`` sıfır olmadıkça denklem x eksenini değeri ``C``/``A`` olan bir a noktasında keser, ``B`` sıfır olmadıkça denklem y eksenini değeri ``C``/``B`` olan bir b noktasında keser. ``A``/``B`` ise denklemin eğimini (m`yi) verir.

Eğim-kesim noktası formu

Kesim noktası: Doğrunun herhangi bir eksenle kesiştiği noktadır. Örneğin sağdaki grafikte (a,0) x ekseni kesim noktası; (0,b) y ekseni kesim noktasıdır.

y = mx + b,\,

``m`` eğimi ve ``b`` de ``y``-ekseni kesim noktasını gösterir.

x = 0

y = b

olduğu direk gözlenir.

Nokta-eğim formu

y - y_1 = m \cdot (x - x_1),

``m`` eğim ve (``x``₁,``y``₁) doğru üzerinde herhangi bir noktadır.

Bazen nokta-eğim formü şu şekilde de karşımıza çıkabilir:

\frac=m

Ancak, bu şekilde

x=x_1

durumunda eşitlik sağlanmaz.

Kesim noktası formu

\frac + \frac = 1.

``E`` ve ``F`` sıfırdan farklı olmalıdır. Doğru ve x ekseninin kesiştiği nokta (x ekseninin kesim noktası) ``E`` ve ``y`` ekseninin kesim noktası ``Fdir. ``A`` = 1/``E``, ``B`` = 1/``F`` ve ``C`` = 1 alınarak kolaylıkla standart forma dönüştürülebilir.

İki nokta formu

y - k = \frac (x - h),

``p`` a‰ ``h``. Grafik (``h``,``k``)`ya karşılık (``p``,``q``) noktasını sağlar ve eğim ``m`` = (``q``−``k``) / (``p``−``h``)`dir.

Parametrik form

x = T t + U\,

y = V t + W.\,

olsun

şeklinde iki denklemdir. eğim m = V / T, x-kesim noktası a=(VUaˆ’WT) / V ve y-kesim noktası b=(WTaˆ’VU) / T

Normal form

y \sin \phi + x \cos \phi - p = 0,\,

Ï† normalin eğim açısı ve p de normalin uzunluğudur. Normal doğru ve başlangıç noktası (orijin) arasında doğruya dik olacak en kısa doğru parçasıdır. Tüm katsayılar by

\sqrt

`a bölünerek ve eğer ``C`` > 0`sa tüm katsayılar -1`le çarpılarak (böylece son katsayı negatif olur) rahatça bulunabilir. Alman Matematikçi Ludwig Otto Hesse`nin anısına bu form ayrıca Hesse standart formu olarak da anılır.

Bazen denklemlerde sadeleştirme işlemlerinden sonra eşitsizlik söz konusu olabilir, 1 = 0 gibi. Bu gibi eşitsizlikler ``tutarsız`` eşitsizliklerdir, yani hiç bir ``x`` ve ``y`` değeri için doğru değildir. 3``x`` + 2 = 3``x`` − 5 buna örnek olabilir.

Birden fazla doğrusal denklem olduğu durumlar için lütfen bkz.: Doğrusal denklem sistemi.

Doğrusal fonksiyonlarla ilişkisi

Yukarıdaki tüm formlarda ``y``, ``xin bir fonksiyonudur. Fonksiyon grafiği denklem grafiğiyle aynıdır.

Denklemdeki ``y`` = ``f``(``x``) varsayılırsa ``f`` fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir:

f (x + y) = f (x) + f (y)\,

f (a x) = a f (x),\,

``a`` bir sayıdır. Bunları sağlayan fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir.

İkiden fazla değişkenli doğrusal denklemler

Doğrusal denklemler ikiden fazla değişkene de sahip olabilirler, n terimli genel denklemimiz aşağıdaki gibi olsun:

a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b.

Burada, ``a``₁, ``a``₂, a€¦, ``a``_``n`` katsayılar, ``x``₁, ``x``₂, a€¦, ``x``_``n`` değişkenlerdir, ve ``b`` de sabittir. Üç değişkenli denklemlerde genelde ``x``₁ yerine sadece ``x``, ``x``₂ sadece ``y`` ve ``x``₃ yerine ``z`` kullanılır.

Böyle bir denklem n-boyutlu bir Öklid uzayında (``n``-1)-boyutlu hiper düzlem belirtir.

Ayrıca bkz.

Basit matematik Denklemler

Equazziun lineara

Doğrusal Denklem

Örnekler

İki Boyutlu Doğrusal Denklemler

Doğrusal fonksiyonlarla ilişkisi

İkiden fazla değişkenli doğrusal denklemler

Ayrıca bkz.

İlgili konular

Doğrusal denklem

Doğrusal denklem dizgesi

Denklem

Diferansiyel denklem

Doğrusal fonksiyon

Adi diferansiyel denklem

Diyofantus denklemi

Lineer Cebir

Doğrusal Denklem

Doğrusal Denklem Hakkında Detaylı Bilgi

Örnekler

İki Boyutlu Doğrusal Denklemler

Doğrusal fonksiyonlarla ilişkisi

İkiden fazla değişkenli doğrusal denklemler

Ayrıca bkz.

İlgili konular

Görüşler ve Yorumlar

Okuma Önerileri

Doğrusal denklem

Doğrusal denklem dizgesi

Denklem

Diferansiyel denklem

Doğrusal fonksiyon

Adi diferansiyel denklem

Diyofantus denklemi

Lineer Cebir