Euler Spirali

Kısaca: Euler spirali, eğimi eğrinin uzunluğuyla doğrusal olarak degişen bir eğridir. Euler spiralleri yaygın olarak spiros, clothoids veya Cornu spiralleri olarak da adlandırılır. Euler spirallerinin kırınım hesaplamalarında uygulamaları vardır. Genellikle demiryolu ve karayolu mühendisliklerinde teğet eğrisi ve dairesel eğri arasındaki geometriyi bağdaştırmaya ve aktarmaya yarayan geçiş eğrisi olarak kullanılır. Teğet eğrisi ve dairesel eğri arasındaki geçiş eğrisinin eğimindeki lineer değişim prensib ...devamı ☟

Euler spirali, eğimi eğrinin uzunluğuyla doğrusal olarak degişen bir eğridir. Euler spiralleri yaygın olarak spiros, clothoids veya Cornu spiralleri olarak da adlandırılır. Euler spirallerinin kırınım hesaplamalarında uygulamaları vardır. Genellikle demiryolu ve karayolu mühendisliklerinde teğet eğrisi ve dairesel eğri arasındaki geometriyi bağdaştırmaya ve aktarmaya yarayan geçiş eğrisi olarak kullanılır. Teğet eğrisi ve dairesel eğri arasındaki geçiş eğrisinin eğimindeki lineer değişim prensibi Euler spiralinin geometrisini belirler: * Eğimi teğetin düzgün kesitinden başlayarak lineer olarak eğri boyunca artar. * Euler spiralinin dairesel eğriyle karşılaştığı yerde eğimi dairesel eğrinin eğimine eşit olur.

Uygulamaları

Geçiş Eğrisi

Dairesel yörüngede hareket eden bir nesne merkezcil ivmeye maruz kalır. Bir araç düz bir yörüngeden dairesel bir yörüngeye yaklaşırken aniden teğet noktasında başlayan merkezcil ivmeyi hissedecektir. İlk demiryollarında trenlerin düşük hızla hareket etmesinden ve yörüngelerin geniş yarıçaplı eğrilerden oluşmasından dolayı şimdiki yanal kuvvet uygulaması bir sorun oluşturmamaktaydı. Demiryolu taşıtlarının hızı günden güne arttıkça konforun gerekli olduğu ortaya çıktı. Bu yüzden de merkezcil ivme yolculuk mesafesiyle doğrusal olarak artmaktadır. Konforun sağlanması için eğimi alınan mesafeyle doğrusal olarak artan bir eğri çözüm olarak bulundu. Bu geometrik ifade Euler spiralidir. Leonhard Euler’in geometri çözümünden habersiz olarak Rankine Euler spiralinin dairesel bir eğriye yakınsayan bir parabol üzerindeki küçük açısal değişiklikler üzerinden yapılan bir yaklaşımı olan kübik eğriden (3. dereceden polinom) bahsetmiştir. Marie Alfred Cornu ve daha sonra başka inşaat mühendisleri de Euler spiralinin hesaplamalarını birbirlerinden bağımsız olarak çözmüşlerdir. Günümüzde Euler spiralleri yaygın olarak demiryolu ve karayolu mühendisliklerinde teğet eğrisi ve yatay dairesel eğri arasında geçişi ve konforu sağlamak için kullanılır.

Optik

Cornu spirali kırınım desenini betimlemek için kullanılır. Formülasyon

Semboller

Çıkarımlar

Sağ taraftaki grafik Euler spiralinin negatif x ekseni boyunca uzanmış düz bir çizgiyle bir çember arasındaki geçiş eğrisi olarak kullanıldıgını göstermektedir. Spiral pozitif x ekseni üzerindeki orijinden başlayarak gitgide saat yönünün tersinde dönerek çembere değer. Spiral ilk kadrandaki çift sonlu Euler spiralinin yukarısındaki küçük bir kısımdır. : Eğim tanımından yola çıkılarak, :: \frac = \frac \propto L :: R L = \text = R_c L_s\, :: \frac = \frac : Aşağıdaki şekilde yazarsak, ::\frac = 2a^2 L ::2a^2= \frac :ya da ::a = \frac } :Böylece ::\theta = (a L)^2\, olur. :: \begin x & = \int_0^L \cos\theta \, ds \\ & = \int_0^L \cos \left (a s)^2 \right ds \end :Eğer ::L' = a L \, olduğunu kabul edersek, :::dL = \frac\,. :Böylece :: x = \frac \int_0^ \cos ^2 ds elde ederiz. :: \begin y & = \int_0^L \sin\theta \, ds \\ & = \int_0^L \sin \left (a s)^2 \right ds \\ & = \frac \int_0^ \sin ^2 \, ds \end

Fresnel integral açılımı

A'nın olduğu yani Euler eğrisinin normalize edilebilir olduğu durumlarda kartezyen koordinatlar Fresnel integrali (ya da Euler integrali) ile aşağıdaki gibi belirlenir: : C(L) =\int_0^L\cos s^2 \, ds : S(L) = \int_0^L\sin s^2 \, ds Kosinüs açılımına göre C(L)'yi : : \cos \theta = 1 - \frac + \frac - \frac + \cdots : C(L) = \int_0^L \cos s^2 \, ds : = \int_0^L (1 - \frac + \frac - \frac} + \cdots) \, ds : = L - \frac + \frac - \frac} +\cdots Sinüs açılımına göreyse S(L)'yi: : \sin \theta = \theta - \frac + \frac - \frac + \cdots : S(L) = \int_0^L \sin s^2 \, ds : = \int_0^L (s^2 - \frac + \frac} - \frac} + \cdots) \, ds : = \frac - \frac + \frac} - \frac} +\cdots bu şekillerde elde ederiz.

Normalize etme ve sonuç

Verilen Euler eğrisi için: :2RL = 2R_c L_s = \frac \, ya da :\frac = \frac = 2a^2L \, geçerliyse, :x=\frac \int_0^ \cos s^2 \, ds :y=\frac \int_0^ \sin s^2 \, ds \, where L' = aL \, and a = \frac}. Euler spiralinin (x,y) cinsinden çözümünün elde edilme süreci şu şekilde belirlenebilir: * Orijinal Euler spiralinin uzunluğu L a ile çarpılarak normalize edilmiş Euler spiralinin uzunluğu Le eşlenir; * Fresnel integralinden (x',y') bulunur; ve * (x',y') 1/a oranında arttırılarak (x,y)'ye eşlenir. (1/a > 1) Normalizasyon süresince, : \begin R'_c & = \frac} \\ & = \sqrt} \\ \end : \begin L'_s & = \frac} \\ & = \sqrt} \end : \begin 2R'_c L'_s & = 2 \sqrt } \sqrt} \\ & = \tfrac \\ & = 1 \end Normalizasyon genel olarak Lı 1'den küçük bir değere götürür.

Örnekleme

Verilen: : \begin R_c & = 300\mbox \\ L_s &= 100\mbox \end değerleri için, : \begin \theta_s & = \frac \\ & = \frac \\ & = 0.1667 \ \mbox \\ \end olur. : 2R_c L_s = 60,000 \, Euler spiralini √60,000 küçültürsek, yani normalize Euler spiralinin 100√6 olması durumunda: : \begin R'_c = \tfrac}\mbox \\ L'_s = \tfrac}\mbox \\ \\ \end : \begin 2R'_c L'_s & = 2 \times \tfrac} \times \tfrac} \\ & = 1 \end ve : \begin \theta_s & = \frac \\ & = \frac}} }} \\ & = 0.1667 \ \mbox \\ \end Yukarıda iki açı \theta_s\, da aynı. Bu orijinal ve normalize edilmiş Euler spirallerinin benzer geometrilere sahip oldugunu göstermektedir. Normalize eğrinin konumu Fresnel integraliyle belirlenebilirken, orijinal Euler spiralinin konumu ise denormalizasyonla elde edilir.

Normalize Euler spiralinin diğer özellikleri

Normalize Euler spirali şu şekilde ifade edilir: :: x = \int_0^L \cos s^2 ds :: y = \int_0^L \sin s^2 ds ve normalize Euler spiralinin bazı özellikleri şunlardır: :2 R_c L_s = 1 \,\! :\theta_s = \frac = L_s ^2 ve :\theta = \theta _s\cdot\frac = L^2 :\frac = \frac = 2L. Euler spiral üretmek için gereken kodlar Aşağıdaki Sage koduyla yukarıdaki ikinci grafik elde edilebilir. İlk 4 satır Euler spirali bileşenlerini ifade eder. fresnel fonksiyonlarının yerine iki Taylor seri açılımı adapte edilmiştir. Geriye kalan kodlarsa sırayla teğet ve daireyi ifade eder. var('L') p = integral(taylor(cos(L^2), L, 0, 12), L) q = integral(taylor(sin(L^2), L, 0, 12), L) r1 = parametric_plot( q, (L, 0, 1), color = 'red') r2 = line( 0), (0,0), rgbcolor = 'blue') x1 = p.subs(L = 1) y1 = q.subs(L = 1) R = 0.5 x2 = x1 - R*sin(1.0) y2 = y1 + R*cos(1.0) r3 = circle((x2, y2), R, rgbcolor = 'green') show(r1 + r2 + r3, aspect_ratio = 1, axes=false) Aşağıdaki Mathematica kodu da Euler spiralinin bileşenleri içindir; wolframalpha.com'da sorunsuz bir şekilde çalışır. : ParametricPlot ,

Kaynaklar

Vikipedi

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.

Spiral
4 ay önce

kullanılır. Arşimet spirali Cornu ya da Euler spirali Fermat spirali Hiperbolik spiral Lituus Logaritmik spiral Theodorus’un Spirali Dairenin involütü (siyah)...

Spiral (anlam ayrımı)
3 yıl önce

AT-6 Spiral AT-9 Spiral-2 Arşimet spirali Euler spirali Hiperbolik spiral Logaritmik spiral Spiral Spiral yay Spiral galaksi Spiral (Buffy bölümü) Sarmal...

Fresnel integrali
3 ay önce

{\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}} ile bölünür. Euler spirali,aynı zamanda Cornu spirali olarak da bilinir. veya clothoid denir,S(t) ye karşı C(t)...

Logaritmik spiral
4 ay önce

orijinden çıkan her doğru, spirali kestiği her noktada, spirale teğet geçen doğruyu aynı açıyla keser. Logaritmik spirale eşaçılı denmesinin sebebi de...

Logaritmik spiral, Arşimet spirali, Böcek, Doğru, Euler sayısı, Evangelista Torricelli, Fraktal, Gerçel sayılar, Gökada, Hiperbolik spiral, Jakob Bernoulli
Kutupsal koordinat sistemi
4 ay önce

değişkeninin değişimi spirali döndürürken, b değişkeni spiralin kolları arasındaki daima sabit olan uzaklığı kontrol eder. Arşimet spirali, θ > 0 ve θ < 0 değerleri...

Kutupsal koordinat sistemi, Kutupsal koordinat sistemi, 1625, 1647, 1816, Akışkan, Antik Yunan uygarlığı, Arşimet, Açı, Açısal momentum, Blaise Pascal
Tesselasyon
3 ay önce

sayısı, ve V {\displaystyle V} köşe sayısıdır, χ {\displaystyle \chi } ise Euler karakteristik katsayısıdır (düzlemsel ve içi delik olmayan bir çokgen için...

Michel Legrand
3 ay önce

Summers Die (1986) (TV) Casanova (1987) (TV) Club de rencontres (1987) Spirale (1987) La baleine blanche (Children and the White Whale) (1987) (TV) Switching...

Mikroorganizma
4 ay önce

uzunluğunda olan bakterilerin çeşitli şekilleri vardır; kimi küresel, kimi spiral şekilli, kimi çubuksu olabilir. Yeryüzündeki her ortamda bakteriler mevcuttur...

Mikroorganizma, Algoloji, Bakteri, Bakteriyoloji, Biyokimya, Botanik, Ekoloji, Fizyoloji, Mantarlar, Mikrobiyoloji, Mikroskop