Evrensel cebir, Matematiğin bir dalıdır, tüm cebirsel yapılara ortak olan özellikleri inceleyen bilimin adıdır.
Evrensel cebirde, bir (soyut) cebir bir birim ve onun tanımlı olan operasyonlardan oluşur.

Evrensel cebir

Evrensel cebir, Matematiğin bir dalıdır, tüm cebirsel yapılara ortak olan özellikleri inceleyen bilimin adıdır.

Evrensel cebirde, bir (soyut) cebir bir birim <math>A</math> ve onun tanımlı olan operasyonlardan oluşur. (Operasyon sembolları sadece "fonksiyonların ismi" olarak kullanılır).

Operasyonların toplamına "imza" (en. "signature") adı verilir <math>\Sigma=\</math>.
<math>+:: A \times A \rightarrow A</math>
<math>*:: A \times A \rightarrow A</math>
<math>0:: \rightarrow A</math>
<math>1:: \rightarrow A</math>


0,1 gibi operasyonlara "sabit" denilir. Operasyonlar soyut bir şekilde eşitliklerle tarif edilebilir. Mesela alttaki eşitliklerin tümüne "E" diyelim.
<math> 0 + x = x</math>
<math> x + y = y + x</math>
<math> (x + y) + z = x + (y + z)</math>
<math> x * 1 = x</math>
<math> x * y = y * x</math>
<math> (x * y) * z = x * (y * z)</math>
Yukardaki imza <math>\Sigma</math> bir cebir doğasal sayılardır <math>N (\mathbb, +^N, *^N, 0^N, 1^N)</math>. Burada <math>+^N</math> bildiğimiz "arti" fonksiyonudur.

Bu cebir yukardaki <math>E</math> adı verdiğimiz tüm eşitlikleri "kabul eder" (en. "satisfy")<math>N \models E</math>. Başka bir deyimle, N yapısı E`nin bir modelidir.

E`nin başka bir bir modelini daha tanimlayalım.<math>B = (\, +^B, *^B, 0^B, 1^B)</math>
<math> 0^B \mapsto a</math>
<math> 1^B \mapsto b</math>
<math> a +^B a \mapsto a</math>
<math> a +^B b \mapsto b</math>
<math> b +^B a \mapsto b</math>
<math> b +^B b \mapsto b</math>


<math> a *^B a \mapsto a</math>
<math> a *^B b \mapsto a</math>
<math> b *^B a \mapsto a</math>
<math> b *^B b \mapsto b</math>


Bunun bir model olduğunu (yani <math>B \models E</math> ifadesini) kanıtlamak kolaydır.

Evrensel cebirde önemli sorulardan birkaç tanesi:
  • Bir eşitlikler birimini <math>E</math> nin modeli var mıdır?
  • E`nin tüm modellerin ortak özellikleri nedir
  • E`nin modelleri, E`den başka hangi eşitlikleri "kabul eder" ?
Mesela <math>x = 1 * x</math> eşitliği, yukardaki <math>E</math>nin bir neticesidir. <math>E \models x = 1*x</math> yazarak bunu ifade ederiz.
<math>\</math> birimine "E`nin teorisi" denilir.


Kaynaklar

Wolfgang Wechler. Universal Algebra. Springer-Verlag

}

Linkler



Kaynaklar

Vikipedi

İlgili konuları ara

Yanıtlar