Türkçe Bilgi logo TürkçeBilgi

Evrensel Cebir

Kısaca: Evrensel cebir, Matematiğin bir dalıdır, tüm cebirsel yapılara ortak olan özellikleri inceleyen bilimin adıdır. Evrensel cebirde, bir (soyut) cebir bir birim ve onun tanımlı olan operasyonlardan oluşur. ...devamı ☟

Evrensel cebir, Matematiğin bir dalıdır, tüm cebirsel yapılara ortak olan özellikleri inceleyen bilimin adıdır.

Evrensel cebirde, bir (soyut) cebir bir birim A ve onun tanımlı olan operasyonlardan oluşur. (Operasyon sembolları sadece "fonksiyonların ismi" olarak kullanılır).

Operasyonların toplamına "imza" (en. "signature") adı verilir \Sigma=\.
+:: A \times A \rightarrow A
*:: A \times A \rightarrow A
0:: \rightarrow A
1:: \rightarrow A


0,1 gibi operasyonlara "sabit" denilir. Operasyonlar soyut bir şekilde eşitliklerle tarif edilebilir. Mesela alttaki eşitliklerin tümüne "E" diyelim.
0 + x = x
x + y = y + x
(x + y) + z = x + (y + z)
x * 1 = x
x * y = y * x
(x * y) * z = x * (y * z)
Yukardaki imza \Sigma bir cebir doğasal sayılardır N (\mathbb, +^N, *^N, 0^N, 1^N). Burada +^N bildiğimiz "arti" fonksiyonudur.

Bu cebir yukardaki E adı verdiğimiz tüm eşitlikleri "kabul eder" (en. "satisfy")N \models E. Başka bir deyimle, N yapısı E`nin bir modelidir.

E`nin başka bir bir modelini daha tanimlayalım.B = (\, +^B, *^B, 0^B, 1^B)
0^B \mapsto a
1^B \mapsto b
a +^B a \mapsto a
a +^B b \mapsto b
b +^B a \mapsto b
b +^B b \mapsto b


a *^B a \mapsto a
a *^B b \mapsto a
b *^B a \mapsto a
b *^B b \mapsto b


Bunun bir model olduğunu (yani B \models E ifadesini) kanıtlamak kolaydır.

Evrensel cebirde önemli sorulardan birkaç tanesi:
  • Bir eşitlikler birimini E nin modeli var mıdır?
  • E`nin tüm modellerin ortak özellikleri nedir
  • E`nin modelleri, E`den başka hangi eşitlikleri "kabul eder" ?
Mesela x = 1 * x eşitliği, yukardaki Enin bir neticesidir. E \models x = 1*x yazarak bunu ifade ederiz.
\ birimine "E`nin teorisi" denilir.


Kaynaklar

Wolfgang Wechler. Universal Algebra. Springer-Verlag

Linkler



Kaynaklar

Vikipedi

İlgili konular

ad bilim matematik

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.