Gelmiş Geçmiş En Zor Mantık Bulmacası

L'indovinello più difficile del mondo (Gelmiş geçmiş en zor mantık bulmacası), Raymond Smullyan'dan esinlenilmiş ve İtalya'nın başlıca gazetelerinden La Repubblica'da yer almış şu mantık bulmacasına ABD'li filozof ve mantıkçı George Boolos tarafından verilen ad: Boolos şu açıklamaları yapar: Tarihi Boolos bulmacanın yaratıcısının mantıkçı Raymond Smullyan olduğunu ve 'da' ve 'ja' sözcüklerinin hangi anlama geldiğinin bilinmemesi kuralını ekleyerek bulmacayı zorlaştıranın John McCarthy olduğunu belirtir. Smullyan'ın eserlerinde benzer örnekleri bulmak mümkündür. Örneğin What is the Name of This Book? eserinde yerlilerinin yarısı (her zaman yalan söyleyen) zombilerden, yarısı ise (her zaman doğruyu söyleyen) insanlardan oluşan bir Haiti adasını tarif eder. Durumu karmaşıklaştıran ise, tüm yerlilerin İngilizce'yi kusursuz şekilde bilmesine karşın, adada yerleşik eski bir tabu gereğince konuşmalarında kendi dillerinden olmayan sözcükleri kullanmalarının yasak olmasıdır. Yerliler kendilerine bir evet-hayır sorusu sorulduğunda 'Bal' ya da 'Da' şeklinde yanıt verirler. Bunlardan biri "yes", diğer "no" anlamına gelir; ancak hangi sözcüğün hangi anlama geldiği bilinmemektedir. The Riddle of Scheherazade kitabında da benzer örnekler vardır. Daha genel anlamda bu bulmaca, Smullyan'ın ünlü Knights and Knaves (Şövalyeler ve Düzenbazlar) (Örneğin, kurmaca bir adada yaşayanların bir kısmı hep doğruyu söyleyen şövalyeler ya da hep yalan söyleyen düzenbazlardır. Bulmaca adaya gelen bir ziyaretçinin bilmesi gerekeni öğrenmek için belirli sayıda evet-hayır sorusu sormasını esas alır.) bulmacalarına dayanır. Bu bulmacaların bir versiyonu, 1980 yapımı fantastik film Labyrinth'in bir sahnesiyle popülerleşmiştir. İki kapıda iki muhafız vardır. Biri yalancı, diğeri değildir. Bir kapı kaleye, diğeri kesinlikle ölüme açılır. Amaç, muhafızlardan birine bir soru sorarak hangi kapının kaleye açıldığını bulmaktır. Filmde Sarah bunu "Diğer muhafıza sorsam, bana bu kapının kaleye açıldığını söyler mi?" sorusuyla yapar. Analiz ve çözüm (Farklı bakış açısı) * A, B, C tanrıları için Doğru, Yanlış, Rastgele (3!=6) değişik olasılıkla sıralanabilir: DYR, DRY, YDR, YRD, RDY, RYD. * İlk sorunun Rastgele'ye sorulması da olasıl olduğundan ve Rastgele'nin cevabının bir anlamı olamayacağından elimizde net sorulabilir 2 soru kalacaktır * Soruların cevapları da sadece evet/hayır (da/ja)gibi iki seçenekli olursa, ençok 2x2=4 seçenekli bir bulmaca çözülebilir, 6 seçenekli bulmaca çözülemez. * O halde mutlaka çözüm varsa cevaplardan en az biri 3. bir seçenek daha içermelidir * Bu 3. seçenek ise cevap verememek (sessiz kalmak) seçeneğidir. * Sessiz kalma seçeneği olan soru şu olabilir : "Rastgele'ye sorsak (3 > 5)? sorusuna "yanlış" cevabı verir mi? * Yukarıdaki soruyu "Doğru veya Yanlış'a sorduğumuzda ikisi de ne cevap vereceğini bilemezler, sessiz kalmak zorunda kalırlar; öte yandan Rastgele doğru veya yanlış rastgele bir cevap verecektir * Bu durumda yukarıdaki soru Tanrıları iki gruba ayırır: Cevap almak, sorunun muhatabının Rastgele olduğunu, cevap alamamak ise DOĞRU veya Yanlış tanrıdan biri olduğu anlamına gelir * Bu aşamada elimizde iki soru ve iki grup tanrı var, yani 2. ve 3. Soruyu rastgele olmadığına emin olduğumuz bir tanrıya yönlendirebiliriz * Şimdi, tanrıların konuştuğumuz dilde cevap verememelerinin bulmacayı zorlaştırmadığını gösterelim * Önce “Sen ve Rastgele dışındaki 3. Tanrıya sizin dilde DA evet midir diye sorsam DA cevabı verir mi?” aşikar sorusunun cevabını araştıralım: tanrı seçenekleri (Doğru, Yanlış) veya (Yanlış, Doğru) ve DA için evet ve hayır seçenekleri var. Dört ihtimalde de cevap JA olacaktır. Cevabını bildiğimiz bu önermeye q diyelim * Bu önermeyi başka bir p önermesi ile birleştirelim. IFF işlemini kullanalım tanım olarak: p IFF q = pq + p’q’ * Bir başka değişle, yeni eklediğimiz P önermesi yanlış ise birleşik önermenin değeri değişir, doğru ise aynı kalır: Örneğin “Şu adamın adı Ahmet mi)” IFF (“Sen ve Rastgele dışındaki 3. Tanrıya sizin dilde DA evet midir diye sorsam DA cevabı verir mi?” birleşik sorusunun cevabı adamın Ahmet ise JA, değil ise DA olarak döner. Böylelikle DA’nın evet mi hayır mı olduğundan bağımsız asıl sorduğumuz p önermesinin doğru cevabını elde edebiliriz. * Şimdi işler kolaylaştı, tekrar hatırlayalım elimizde 2 soru ve soruyu yönetebileceğimiz rastgele olmayan en az bir tanrı var. * 2. soru asıl soru yani p önermemiz “sen Doğru musun?” olsun, ama cevabı tereddütsüz yorumlayabilmek için bunu gene p IFF q şeklinde soralım. Sorunun muhatabının Doğru mu Yanlış mı olduğunu anlarız * 3 soru olarak gene aynı tanrıya bir başka tanrı gösterip, p önergesini “Bu Yanlış mıdır” diye oluşturup gene p IIF q birleşik önermesi olarak soralım.

Çözüm

tamamlanmıştır Çözüm Boolos çözümünü bulmacayı ilk defa ortaya koyduğu makalesinde açıklar. Boolos, "ilk hamlenin kesinlikle Rastgele olmayan, Doğru ya da Yanlış olan tanrılardan birini bulmak üzere yapılacağını" belirtir.

Çözüm

ün anahtarı, bir evet-hayır sorusu olan Q için, Doğru ya da Yanlış'tan birine şunu sormaktır: * Eğer sana Q sorusunu sorsam, yanıtın 'ja' mı olurdu? Q sorusunun yanıtı "evet"se bu sorunun yanıtı 'ja', Q sorusunun yanıtı "hayır"sa bu sorunun yanıtı 'da' olacaktır. Bu sorunun işe yarama nedeni 8 olası duruma bakıldığında görülebilir. * 'Ja'nın "evet", 'da'nın "hayır" demek olduğunu düşünürsek, (i) Doğru'ya sorulduğunda yanıtı 'ja' olacaktır. Doğruyu söylediğine göre Q'nun doğru yanıtı 'ja', yani "evet"tir. (ii) Doğru'ya sorulduğunda yanıtı 'da' olacaktır. Doğruyu söylediğine göre Q'nun doğru yanıtı 'da', yani "hayır"dır. (iii) Yanlış'a sorulduğunda yanıtı 'ja' olacaktır. Yalan söylediğine göre Q sorusuna 'da' yanıtını verecekti. Bu durumda Q'nun yanıtı 'ja', yani "evet"tir. (iv) Yanlış'a sorulduğunda yanıtı 'da' olacaktır. Yalan söylediğine göre Q sorusuna 'ja' yanıtını verecekti. Bu durumda Q'nun yanıtı 'da', yani "hayır"dır. * 'Ja'nın "hayır", 'da'nın "evet" demek olduğunu düşünürsek, (v) Doğru'ya sorulduğunda yanıtı 'ja' olacaktır. Doğruyu söylediğine göre Q'nun doğru yanıtı 'da', yani "evet"tir. (vi) Doğru'ya sorulduğunda yanıtı 'da' olacaktır. Doğruyu söylediğine göre Q'nun doğru yanıtı 'ja', yani "hayır"dır. (vii) Yanlış'a sorulduğunda yanıtı 'ja' olacaktır. Yalan söylediğine göre Q sorusuna 'ja' yanıtını verecekti. Bu durumda Q'nun yanıtı 'da', yani "evet"tir. (viii) Yanlış'a sorulduğunda yanıtı 'da' olacaktır. Yalan söylediğine göre Q sorusuna 'da' yanıtını verecekti. Bu durumda Q'nun yanıtı 'ja', yani "hayır"dır. Bu veriler kullanılarak aşağıdaki gibi devam edilebilir. Bu yolla Rastgele'nin içindeki doğrucu ya da yalancı seçilip ortaya çıkartılmış ve Rastgele bunlardan yalnızca biri olmaya zorlanmış olur. Bu da bulmacayı tamamıyla önemsizleştirmiş olur, zira artık dilediğimiz soruya doğru yanıt alabiliriz. * 1. A'ya "Sana 'Sen Rastgele misin?' diye sorsam, şu anki akli durumunla 'ja' mı derdin?" sorusu yöneltilir. A'nın yanıtı 'ja' olursa, A Rastgele'dir: ** 2a. B'ye "Sana 'Sen Doğru musun?' diye sorsam, 'ja' mı derdin?" sorusu yöneltilir.

B'nin yanıtı 'ja' olursa, B Doğru ve C Yanlış'tır.

B'nin yanıtı 'da' olursa, B Yanlış ve C Doğru'dur. Her iki durumda da bulmaca çözülmüş olur.

A'nın yanıtı 'da' olursa, A Rastgele değildir: ** 2b. A'ya "Sana 'Sen Doğru musun?' diye sorsam, 'ja' mı derdin?" sorusu yöneltilir.

A'nın yanıtı 'ja' olursa, A Doğru'dur.

A'nın yanıtı 'da' olursa, A Yanlış'tır.

** 3. A'ya "Sana 'B Rastgele mi?' diye sorsam, 'ja' mı derdin?" sorusu yöneltilir.

A'nın yanıtı 'ja' olursa, B Rastgele'dir ve C A'nın tam tersidir.

A'nın yanıtı 'ja' olursa, C Rastgele'dir ve B A'nın tam tersidir.

Boolos'un bulmacası Rastgele'nin gerçekten rastgele davranacağı şekilde değiştirilebilir. Bu durumda üçüncü açıklama şöyle olacaktır: * Rastgele'nin 'ja' ya da 'da' yanıtlarını vermesi beynindeki gizli paranın yazı ya da tura gelmesine bağlıymış gibi düşünülmelidir: Yazı gelirse 'ja', tura gelirse 'da' yanıtını verecektir. Bu değişiklikle birlikte bulmacanın çözümü, Çözüm
bölümünün sonunda verilenden daha dikkatli bir tanrı sorgulamasına ihtiyaç duyar. Tanrıların kafalarının infilakı A simple solution to the hardest logic puzzle ever, makalelerinde B. Rabern ile L. Rabern, tanrıların vereceği yanıtların 'ja' ve 'da'dan ibaret olmadığını belirterek bulmacayı geliştirdi. Buna göre, tanrıların soruyu yanıtlayamaması da mümkündü. Örneğin "Bu soruya kendi dilinde "hayır" anlamına gelen sözcükle mi yanıt vereceksin?" sorusunun Doğru'ya sorulması halinde, doğru şekilde yanıt alınamaz. (Yazıda bu durum "kafanın infilak etmesi", "...bunlar şaşmaz tanrılar! Böyle bir soruyla onlara başvurulduğunda kafaları infilak edecektir." ifadeleriyle açıklanmıştır.) "Kafaların infilak" edebilirliği, bulmacaya (hem özgün, hem geliştirilmiş versiyonlarına) üç soru yerine iki soruyla yeni bir çözüm yolu olasılığı getirmiştir. Yazarlar bulmacanın iki sorulu çözümünü desteklemek amacıyla daha basit benzer bir bulmacayı yalnızca iki soruyla çözmüştür.

* A, B ve C denilen üç tanrının adları Zephyr, Eurusve ve Aeolus'tur. Tanrılar her zaman doğruyu söylemektedir. Göreviniz, A, B ve C'nin kimliğini, her biri doğrudan tanrılardan birine yöneltilecek üç evet-hayır sorusuyla ortaya çıkarmaktır. Tanrılar Türkçe bilir ve soruları Türkçe yanıtlar.

Bu bulmaca üç soruyla basitçe çözülebilir. Ayrıca bulmacayı iki soruyla çözmek için şu yardımcı önerme de ispatlanmıştır:

"Islah Edilmiş Yalancı" Yardımcı Önermesi. A'ya "bu senin ?" sorulduğunda, yanıtı "evet" ise, B Eurus'tur, yanıtı "hayır" ise, B Aeolus'tur ve kafanın infilakı B'nin Zephyr olduğunu gösterir. Dolayısıyla B'nin kimliği tek bir soruyla ortaya çıkarılabilir.

Bu yardımcı önermeyi kullanarak bulmacayı iki soruda çözmek kolaydır. Benzer bir kurnazlık (yalancıyı ıslah etme paradoksu) özgün bulmacayı iki soruda çözmek için de kullanılabilir. Ayrıca bakınız * George Boolos * Raymond Smullyan * Knights and Knaves * Logic Puzzle Kaynaklar * George Boolos, The hardest logic puzzle ever (The Harvard Review of Philosophy, 6:62–65, 1996). * T.S. Roberts, Some thoughts about the hardest logic puzzle ever (Journal of Philosophical Logic 30:609–612(4), December 2001). * Brian Rabern and Landon Rabern, A simple solution to the hardest logic puzzle ever (Analysis 68 (298), 105–112, April 2008). * Raymond Smullyan, What is the Name of This Book? (Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1978). * Raymond Smullyan, The Riddle of Sheherazade (A. A. Knopf, Inc., New York, 1997). Dış bağlantılar * George Boolos. The hardest logic puzzle ever. The Harvard Review of Philosophy, 6:62–65, 1996. * T.S. Roberts. Some thoughts about the hardest logic puzzle ever. Journal of Philosophical Logic, 30:609–612(4), December 2001. * Brian Rabern and Landon Rabern. A simple solution to the hardest logic puzzle ever. Analysis 68 (298), 105–112, April 2008. * Tom Ellis. Even harder than the hardest logic puzzle ever. * Brian Rabern and Landon Rabern. In defense of the two question solution to the hardest logic puzzle ever.

Kaynaklar

Vikipedi

Gelmiş Geçmiş En Zor Mantık Bulmacası