Grup kuramı

Üzerinde tersinebilir ve bileşme özelliğine sahip ikili bir işlemin tanımlı olduğu kümelerin kuramıdır. Daha detaylı açıklamak gerekirse, grup nesnesi bir küme G ve onun üzerinde tanımlı bir <math>\cdot</math> işleminden oluşur. Bu operasyonun aşağıdaki şartları sağlaması gereklidir:

Grup kuramı

Üzerinde tersinebilir ve bileşme özelliğine sahip ikili bir işlemin tanımlı olduğu kümelerin kuramıdır. Daha detaylı açıklamak gerekirse, grup nesnesi bir küme G ve onun üzerinde tanımlı bir <math>\cdot</math> işleminden oluşur. Bu operasyonun aşağıdaki şartları sağlaması gereklidir:

1) G`nin herhangi üç elemanı a,b,c için

<math>a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c</math>

eşitliği sağlanmalıdır,

2) G`nin öyle bir e elemanı vardır ki, G`deki herhangi bir a için

<math>a\cdot e=e\cdot a=a</math>

eşitliği sağlanır (yani e etkisiz elemandır), ve de e, G`de bu özelliği sağlayan tek elemandır,

3) G`deki her a elemanı için öyle bir b elemanı bulmak mümkündür ki

<math>a\cdot b=b\cdot a=e</math>

eşitliği sağlansın. Eğer bu eşitlik sağlanıyorsa b elemanına a elemanının tersi adı verilir.

Yukardaki tanımda dikkat edilmesi gereken bir nokta ise işlemimizin değişme özelliği olduğunu varsaymıyor oluşumuzdur. Yani bazı gruplarda öyle iki a ve b elemanı bulmak mümkündür ki <math>a\cdot b\neq b\cdot a</math> olsun. Öte yandan eğer bir grupta fazladan değişme özelliği de varsa o gruba "Abel grubu" denir. Gruplar sonlu veya sonsuz sayıda eleman içerebilirler.

Gruplara bazı örnekler:


1) Tam sayılar kümesi ve üzerindeki toplama işlemi, bir Abel grubudur.

2) 0`dan farklı rasyonel sayılar ve çarpma işlemi, bu da Abeldir.

3) Simetrik n grubu, <math>\</math> kümesinden kendi içersine birebir örten fonksiyonlardan oluşur. Eleman sayısı <math>n!</math> dir ve Abel değildir.

4) Lie Grupları, Diferensiyel Geometri alanının uğraş konularıdır.

Kısa Tarih


İlk başta Fransız matematikçi Evariste Galois tarafından Cisimler Teorisi`ndeki sonlu genişlemeleri açıklamak için tanımlanmışlardır. Bu konu daha sonraları Galois genişlemeleri adıyla anılmaya başlanmış ve bu alanda karşımıza çıkan gruplara da Galois Grupları denmiştir. Galois grupları günümüzde hala daha Cebirsel Geometri alanının temel uğraş alanları içersindedirler. Öte yandan gruplar saf matematikte hızla başka uygulama alanları bulmuşlar ve Katı Hal Fiziği ve Oyunlar Teorisi gibi uygulamalı alanlara da sıçramışlardır. 1980`li yıllarda tamamlanan sonlu grupların sınıflandırılması projesi modern matematiğin en büyük başarılarından biri olarak kabul edilir.

Kaynaklar

Vikipedi

İlgili konuları ara

Yanıtlar