Gödelin Yetersizlik Teoremi

Peano Aksiyomları'na (kabaca 4 işlemin doğal sayılar üzerindeki özelliklerini ve tümevarım ilkesini ifade ederler) sonlu sayıda aksiyom ekleyerek bile doğal sayılar hakkındaki doğru önermelerin tamamını ispatlamamıza olanak verecek bir aksiyomatik sisteme ulaşamayacağımızı ifade eden teoremdir. Avusturya'lı matematikçi Kurt Gödel tarafından 1930 senesinde, doktora tezinin bir parçası olarak ispatlanmış ve Matematik ve Matematik Felsefesi alanlarında büyük bir düşünce devrimine yol açmıştır. İspatı, doğal sayıları ve doğal sayılar üzerindeki işlemleri ifade edebilecek kadar güçlü bir formal sistemin içersinde ispat kavramının aritmetik olarak kodlanabileceğini göstermekle başlar. Ardından Cantor'un Diagonal Yöntemi'nin çok zekice bir uygulamasıyla, Gödel "bu önermenin ispatı yoktur" önermesinin de aritmetik bir ifade olarak bu sistemde ifade edilebileceğini gösterir. Bu son ifade kavramsal olarak doğru olduğu halde kendisinin de ifade ettiği üzere, ispatlanamaz bir önermedir. Dolayısıyla aksiyomatik sistemimizin gücü her doğru ifadeyi ispatlamaya yeterli değildir. Dahası, sistemimize istediğimiz kadar, fakat sonlu sayıda aksiyom ekleyerek de bu durumu değiştiremeyiz, çünkü Gödel'in kurduğu bu cümlenin bir benzerini (aynı şeyi bu sefer yeni eklediğimiz aksiyomlara göre ifade eden) kurmak hala daha mümkündür.

Gödel'in bu ispatının bir uzantısı olarak ayrıca doğal sayılar için temel kabul edilen Peano sisteminin çelişkisiz olduğunun kanıtının Peano sistemi içersinde verilebiliyor olması durumunda aslında Peano Sisteminin çelişkili olması gerektiğidir. Bu paradoksal gözüken ifadede dikkat edilmesi gereken, çelişki içeren bir aksiyomatik sistemde her önermenin, dolayısıyla "çelişkisizlik önermesi"nin de ispatlanabilir olduğudur.

Gödelin Yetersizlik Teoremi

Gödelin Yetersizlik Teoremi Hakkında Detaylı Bilgi

Görüşler ve Yorumlar