Türkçe Bilgi logo TürkçeBilgi

Hiperdüzlem Dağılımları

Kısaca: Hiperdüzlem dağılımları, sonlu bir vektör uzayında, tümleyici boyutu 1 olan afin alt uzayların sonlu topluluğu. ...devamı ☟

Hiperdüzlem dağılımları, sonlu bir vektör uzayında, tümleyici boyutu 1 olan afin alt uzayların sonlu topluluğu. Dağılımlar matematiğin birçok dalında karşımıza çıkagelmekte; uygulama alanlarını kombinatorikte, topolojide, istatistikte, olasılıkta gözlemlemek mümkün. Genellikle gerçel hiperdüzlem dağılımları için kombinatorik sorular akla gelmişken, kompleks uzaylarda, kompleks hiperdüzlem dağılımlarında ortaya çıkan şekil topolojik açıdan merak unsuru olagelmiştir.

Odacık sayma

Gerçel hiperdüzlem dağılımları için "kaç?" sorusuna cevap verebilmek, tarihsel süreçte matematikçilerin ilgi alanı oldu: Yani hiperdüzlemlerin ayırdığı bağlı parçacık sayısını sayabilmek. Bağlı parçacıkları odacık olarak adlandıracağız. Hiperdüzlem kesişimlerinde, kesişime eklenen her bir hiperdüzlem, kesişimin boyutunu bir boyut düşürüyorsa bu dağılıma genel pozisyonda denir. 1900'den önce İsviçreli matematikçi Ludwig Schäfli \mathbb^d'de n tane hiperdüzlem genel pozisyondayken odacık sayısını hesapladı ve şu formülü buldu:
Odacık sayısı = \binom+\binom+\cdots+\binom.
Eğer hiperdüzlem dağılımları genel pozisyonda değilse, yukarıda bahsedilen durum aksine kesişimdeki her bir hiperdüzlem kesişim noktasının boyutunu 1 düşürmemişse veya paralellik durumu varsa odacık sayısını hesaplamak bu kadar basit olmadı. 1889'da S. Roberts düzlemde genel pozisyonda olmayan hiperdüzlem dağılımları için odacık sayısını hesapladı. En büyük adım 1975'te T.Zaslavsky tarafından atıldı. Özyineleme formülü elde edebilmek için silme ve sınırlama metotlarını oluşturdu. \mathcal bir hiperdüzlem dağılımı ve H\in \mathcal bir hiperdüzlem olsun. Öyleyse \mathcal=\mathcal \setminus \lbrace H\rbrace silinen dağılım ve \mathcal = \lbrace K\cap H | K\in \mathcal\rbrace sınırlanan dağılım olarak adlandırılır. (\mathcal,\mathcal,\mathcal) üçlüsü herhangi bir gerçel hiperdüzlem dağılımındaki odacık sayısını bulmakta kullanılabilir. Gerçekten de |\mathcal(\mathcal)|, \mathcal'daki odacık sayısı olursa, bu aşağıdaki özyinelemeli eşitlikten bulunabilir.
|\mathcal(\mathcal)|=|\mathcal(\mathcal)|+|\mathcal(\mathcal)|.
İspat kolaylıkla yapılabilir. H belirlenmiş bir hiperdüzlem olsun ve bunu dağılımdan çıkaralım. Öyleyse geri kalan odacık sayısı |\mathcal(\mathcal)|'ya eşittir. H diğer hiperdüzlemler tarafından odacıklara bölünmüştür. Bu odacıklardan her biri, \mathcal(\mathcal)'daki herhangi bir odacığı iki parçaya böler. Böylece sonuca varılır. Bu özyinelemeli formülden odacık sayısını bulabilmek için özyinelenen bir fonksiyona ihtiyaç vardır ve bu fonksiyon tanımı için kısmi sıralama bağıntısına ihtiyaç duyulur.

Kısmen sıralanmış küme L(A)

\mathbb^d'de \mathcal bir dağılım olsun ve L=L(\mathcal), \mathcal'da kesişimi boş küme olmayan elemanların kümesi olsun. L'nin üzerine bir kısmi sıralama şu şekilde koyulur:
X\leq Y\Leftrightarrow Y\subseteq X.
Bu şekilde kısmi sıralanmış bir küme elde etmiş oluruz ve bunun üzerine özyinelenen bir fonksiyon oluşturulabilir.

Möbius fonksiyonu

\mathcal bir dağılım ve L=L(\mathcal) olsun. Möbius fonksiyonu \mu_}:L\times L\to \mathbb şu şekilde tanımlanır:
\begin \mu(X,X) &=& 1 &&\mbox X\in L \\ \sum_\mu(X,Z) &=& 0 && \mbox X,Y,Z\in L \mbox X\leq Y \\ \mu(X,Y) &=& 0 &&\mbox \end
Eğer X\in L için \mu(X)=\mu(\mathbb^d,X) olarak tanımlarsak, \mu(\mathbb^d)=1 ve herhangi bir hiperdüzlem için \mu(H)=-1 olduğunu açıkça görürüz.

Poincaré polinomu

Yukarıda verilen Möbius fonksiyonu, \mathcal dağılımı üzerinde Poincaré polinomunu şu şekilde tanımlar.
\pi(\mathcal,t)=\sum_\mu(X)(-t)^
, burada r(X), X\in L'in tümleyici boyutudur.

Silme-sınırlama teoremi

Silme-sınırlama teoremi, yukarıda ispatlanan özyinelemeli formülü Poincaré polinomları cinsinsen ifade eder. Yani, (\mathcal,\mathcal,\mathcal) üçlüsü için
\pi(\mathcal,t)=\pi(\mathcal,t)+ t\pi(\mathcal,t).

Sonuç

|\mathcal(\mathcal)| ve \pi(\mathcal,1)' in boş bir dağılım üzerinde 1'e eşit ve silme-sınırlama metodunda aynı özyinelemeye sahip olduklarından, T.Zaslavsky'nin sonucuna ulaşırız:
|\mathcal(\mathcal)|=\pi(\mathcal,1).
Böylece herhangi bir gerçel hiperdüzlem dağılımı için odacık sayısını hesaplayabilmemiz mümkün. # P.Orlik, Lectures on Arrangements: Combinatorics and Topology, Lectures at Nordfjordeid, Norway (June 2003) # P.Orlik and H.Terao, Arrangements of Hyperplanes (Springer-Verlag, Berlin, 1992)

Kaynaklar

Vikipedi

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.