Ikili Işlem

Eğer bir kümeyse, kümesinden kümesine giden bir fonksiyona kümesi üzerine ikili işlem denir. İkili işlemi olarak gösterirsek, yerine genellikle , , ya da daha yaygın olarak yazmak bir gelenek halini almıştır.

düzenle|Ekim 2007 Eğer X bir kümeyse, X \times X kümesinden X kümesine giden bir fonksiyona X kümesi üzerine ikili işlem denir. İkili işlemi f:X\times X \longrightarrow X olarak gösterirsek, f(x,y) yerine genellikle x+y, x \times y, x \star y ya da daha yaygın olarak xy yazmak bir gelenek halini almıştır. Burada önemli olan, her x, y \in X için, işlemin sonucu olan x \star y elemanının gene X kümesinde olmasıdır, yoksa ikili bir işlemden söz edemeyiz. Örneğin, X = N (doğal sayılar kümesi) ise, x - y işlemi bu küme üzerinde ikili bir işlem değildir, çünkü, örneğin, 5-7 bir doğal sayı değildir. Öte yandan x\star y = 3 + xy + x + y olarak tanımlanan işlem doğal sayılar kümesi üzerine ikili bir işlemdir.

İkili işlem yerine kısaca "işlem" denildiği de olur.

x+y yazılımı sadece işlem değişmeli olduğunda, yani kümedeki her x, \, y için x\star y = y\star x olduğunda kullanılır.

İşlemlerde genellikle her x,\, y,\, z elemanı için (x\star y)\star z = x \star (y\star z) eşitliği aranır, çünkü yoksa hayat çok zor olur, örneğin x^3 elemanından rahatça (yani özel bir tanıma gerek kalmadan) söz edebilmek için x\star (x\star x) = (x\star x)\star x eşitliği geçerli olmalıdır. Bu özelliğe birleşme özelliği adı verilir.

Eğer her x \in X için ``ex = x`` eşitliğini sağlayan bir e\in X elemanı varsa, ``eye işlemin soldan etkisiz elemanı adı verilir. Sağdan etkisiz eleman benzer biçimde tanımlanır. Soldan ve sağdan etkisiz elemanlar eşit olmak zorundadırlar, nitekim eğer ``e`` soldan, ``f`` de sağdan etkisizse f = ef = e olur. Öte yandan bir işlemde sağdan etkisiz eleman yoksa birden fazla soldan etkisiz eleman olabilir. Örneğin x\star y = y olarak tanımlanan işlemde her x\in X soldan etkisizdir; ve eğer kümede birden fazla eleman varsa bu işlemin sağdan etkisiz elemanı yoktur. Sağdan ve soldan etkisiz olan elemana kısaca etkisiz eleman denir.

Eğer her x \in X için ``ax = a`` ise ``aya soldan yutan eleman denir. Sağdan yutan eleman benzer biçimde tanımlanır. Soldan ve sağdan yutan elemanlar - olduklarında - eşittirler, çünkü eğer ``a`` soldan, ``b`` de sağdan yutansa, o zaman a=ab=b olur.

Matematiğin en önemli işlemlerinden biri fonksiyonların bileşme işlemidir. Eğer ``X`` bir kümeyse, Fonk(``X``, ``X``), ``X`` kümesinden ``X`` kümesine giden fonksiyonlar kümesi olsun. Eğer f,\, g\in Fonk(``X``, ``X``) ise, gene ``X`` kümesinden ``X`` kümesine giden ve adına "``f`` ile ``g`` fonksiyonlarının bileşkesi" denilen ``f`` o ``g`` fonksiyonunu şöyle tanımlayalım: Her x\in X için, (``f`` o ``g``)(``x``) = ``f``(``g``(``x``)) olsun. Bu, Fonk(``X``, ``X``) kümesi üzerine bir işlemdir. Bu işlemin birleşme özelliği vardır ama değişmeli değildir ve ayrıca etkisiz elemanı Id_X olarak gösterilen özdeşlik fonksiyonudur.

Ayrıca Bakınız



matematik-taslak

Kaynaklar

Vikipedi

İlgili konuları ara


Görüşler

Bu konuda henüz görüş yazılmamış.
Gürüş/yorum alanı gerekli.
Markdown kodları kullanılabilir.

Ikili Işlem ilgili konular

  • Birleşme

    Birleşme, bir küme üzerine tanımlanmış ikili işlemlerin ayırt edici özelliklerinden biridir. Bu özelliği sağlayan ikili işlemlere birleş
  • Öbek

    Genellikle grup olarak bilinen bu matematiksel yapı, soyut cebirin en temel yapısıdır. Öbek, öncelikle bir kümedir, öğeleri boş olmayan bir
  • Ikili işlem

    Eğer bir kümeyse, kümesinden kümesine giden bir fonksiyona kümesi üzerine ikili işlem denir. İkili işlemi olarak gösterirsek, yerine g
  • Cisim (matematik)

    Cisim, halka ve öbek gibi soyut bir cebirsel yapıdır. Kabaca, elemanları arasında toplama, çıkarma, çarpma ve bölme (sıfıra bölme hariç)
  • Yarı öbek

    Yarı öbek ya da yarıgrup, sadece bileşme özelliğini sağlayan bir ikili işlem tanımlanmış ve boştan farklı kümelerdir. İkili işlemin ta
  • Yarıgrup

    Yarı öbek ya da yarıgrup, sadece bileşme özelliğini sağlayan bir ikili işlem tanımlanmış ve boştan farklı kümelerdir. İkili işlemin ta
  • Birleşme özelliği

    Küme kuramında, birleşme, bir kümenin tüm ögelerinin topluluğudur ve ∪ ile sembolize edilir.
  • Lie cebirleri

    Matematikte, Lie cebiri (/ li ː /, değil / laɪ /) içinde sonsuzküçük dönüşümler kavramını incelemek için tanıtılan cebirsel yapılard
  • Değişme özelliği

    Değişme özelliği, matematikte işlemin sonucunu değiştirmeden diğer öğelerin yerini değiştirebilme özelliğidir. Matematikteki birçok iş
  • Temel cebir

    Basit cebir, matematik dersinde öğretilen cebirin en temel kısmıdır. Normalde liselerde öğretilir ve öğrencilerin işlem ve belirli sayılar