Türkçe Bilgi: ikili işlem

düzenle|Ekim 2007 Eğer

X

bir kümeyse,

X \times X

kümesinden

X

kümesine giden bir fonksiyona

X

kümesi üzerine ikili işlem denir. İkili işlemi

f:X\times X \longrightarrow X

olarak gösterirsek,

f(x,y)

yerine genellikle

x+y

x \times y

x \star y

ya da daha yaygın olarak

xy

yazmak bir gelenek halini almıştır. Burada önemli olan, her

x, y \in X

için, işlemin sonucu olan

x \star y

elemanının gene

X

kümesinde olmasıdır, yoksa ikili bir işlemden söz edemeyiz. Örneğin,

X = N

(doğal sayılar kümesi) ise,

x - y

işlemi bu küme üzerinde ikili bir işlem değildir, çünkü, örneğin,

5-7

bir doğal sayı değildir. Öte yandan

x\star y = 3 + xy + x + y

olarak tanımlanan işlem doğal sayılar kümesi üzerine ikili bir işlemdir.

İkili işlem yerine kısaca "işlem" denildiği de olur.

x+y

yazılımı sadece işlem değişmeli olduğunda, yani kümedeki her

x, \, y

için

x\star y = y\star x

olduğunda kullanılır.

İşlemlerde genellikle her

x,\, y,\, z

elemanı için

(x\star y)\star z = x \star (y\star z)

eşitliği aranır, çünkü yoksa hayat çok zor olur, örneğin

x^3

elemanından rahatça (yani özel bir tanıma gerek kalmadan) söz edebilmek için

x\star (x\star x) = (x\star x)\star x

eşitliği geçerli olmalıdır. Bu özelliğe birleşme özelliği adı verilir.

Eğer her

x \in X

için ``ex = x`` eşitliğini sağlayan bir

e\in X

elemanı varsa, ``eye işlemin soldan etkisiz elemanı adı verilir. Sağdan etkisiz eleman benzer biçimde tanımlanır. Soldan ve sağdan etkisiz elemanlar eşit olmak zorundadırlar, nitekim eğer ``e`` soldan, ``f`` de sağdan etkisizse $f = ef = e$ olur. Öte yandan bir işlemde sağdan etkisiz eleman yoksa birden fazla soldan etkisiz eleman olabilir. Örneğin $x\star y = y$ olarak tanımlanan işlemde her $x\in X$ soldan etkisizdir; ve eğer kümede birden fazla eleman varsa bu işlemin sağdan etkisiz elemanı yoktur. Sağdan ve soldan etkisiz olan elemana kısaca etkisiz eleman denir.

Eğer her

x \in X

için ``ax = a`` ise ``aya soldan yutan eleman denir. Sağdan yutan eleman benzer biçimde tanımlanır. Soldan ve sağdan yutan elemanlar - olduklarında - eşittirler, çünkü eğer ``a`` soldan, ``b`` de sağdan yutansa, o zaman $a=ab=b$ olur.

Matematiğin en önemli işlemlerinden biri fonksiyonların bileşme işlemidir. Eğer ``X`` bir kümeyse, Fonk(``X``, ``X``), ``X`` kümesinden ``X`` kümesine giden fonksiyonlar kümesi olsun. Eğer

f,\, g\in

Fonk(``X``, ``X``) ise, gene ``X`` kümesinden ``X`` kümesine giden ve adına "``f`` ile ``g`` fonksiyonlarının bileşkesi" denilen ``f`` o ``g`` fonksiyonunu şöyle tanımlayalım: Her

x\in X

için, (``f`` o ``g``)(``x``) = ``f``(``g``(``x``)) olsun. Bu, Fonk(``X``, ``X``) kümesi üzerine bir işlemdir. Bu işlemin birleşme özelliği vardır ama değişmeli değildir ve ayrıca etkisiz elemanı Id

_X

olarak gösterilen özdeşlik fonksiyonudur.

Ayrıca Bakınız

matematik-taslak

Kaynaklar

Vikipedi

Ikili Işlem

Ayrıca Bakınız

Kaynaklar

İlgili konular

Merkezî işlem birimi

Yarı öbek

Altöbek

Grup (Matematik)

Değişme özelliği

Yutan eleman

İkili sarmal

Pisagor toplamı

Ikili Işlem

Ikili Işlem Hakkında Detaylı Bilgi

Ayrıca Bakınız

Kaynaklar

İlgili konular

Görüşler ve Yorumlar

Okuma Önerileri

Merkezî işlem birimi

Yarı öbek

Altöbek

Grup (Matematik)

Değişme özelliği

Yutan eleman

İkili sarmal

Pisagor toplamı