İntegral Testi

Kısaca: Matematikte integral testi veya bir diğer deyişle yakınsaklık için integral testi, terimleri negatif olmayan sonsuz serilerin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir. Bu testin erken bir versiyonu 14üncü yüzyılda Hint matematikçi Madhava ve takipçileri tarafından bulunmuştur. ...devamı ☟

Matematikte integral testi veya bir diğer deyişle yakınsaklık için integral testi, terimleri negatif olmayan sonsuz serilerin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir. Bu testin erken bir versiyonu 14üncü yüzyılda Hint matematikçi Madhava ve takipçileri tarafından bulunmuştur. Avrupa'da ise Maclaurin ve Cauchy tarafından geliştirilmiş olup aynı zamanda Maclaurin-Cauchy testi olarak da bilinir. Testin ifadesi Bir N tamsayısını ve sınırsız [N, &infin;) aralığında tanımlı monoton azalan bir f fonksiyonunu ele alalım. O zaman, :\sum_^\infty f(n) serisi ancak ve ancak :\int_N^\infty f(x)\,dx integrali sonlu ise, yakınsaktır. Özelde, integral ıraksar ise, o zaman seri de ıraksar. İspat Kanıt basit bir şekilde f(n) terimini f 'nin [n aˆ’ 1, n] ve [n, n + 1] aralıkları üzerindeki integralleriyle karşılaştırarak, karşılaştırma testini kullanmaktadır f, monoton azalan bir fonksiyon olduğu için, : f(x)\le f(n)\quad\text x\in ve : f(n)\le f(x)\quad\text x\in[N,n, olduğunu biliyoruz. Bu yüzden, N 'den büyük n için, : \int_n^ f(x)\,dx \le\int_^ f(n)\,dx =f(n) =\int_^ f(n)\,dx \le\int_^n f(x)\,dx. Alt tahmin de aynı zamanda f(N) için geçerli olduğu için, N 'den belli bir M (M, N 'den büyüktür) tamsayısına kadar n üzerinden toplamlarla : \int_N^f(x)\,dx\le\sum_^Mf(n)\le f(N)+\int_N^M f(x)\,dx elde ederiz. M sonsuza giderse, sonucu elde ederiz. Uygulamalar Harmonik seri : \sum_^\infty \frac1n ıraksar çünkü doğal logaritmayı, türevini ve hesabın temel teoremini kullanarak : \int_1^M\frac1x\,dx=\ln x\Bigr|_1^M=\ln M\to\infty \text \quad M\to\infty \quad\text. elde edilir. Tersine, : \sum_^\infty \frac1} serisi (Riemann zeta fonkisyonu ile karşılaştırınız) her ε > 0 için ıraksar çünkü : \int_1^M\frac1}\,dx =-\frac1\biggr|_1^M= \frac1\varepsilon\Bigl(1-\frac1\Bigr) \le\frac1\varepsilon\text\quad \forall M\ge1. Yakınsaklık ve ıraksaklık arasındaki sınır çizgisi Yukarıdaki harmonik serileri de içeren örnekler şu soruyu beraberinde getirir: Terimleri f(n) olan ve 1/n 'den daha hızlı bir şekilde 0'a doğru azalan; ancak, 1/n1+ε 'dan her ε > 0 için : \lim_\frac=0 \quad\text\quad \lim_\frac}=\infty bağlamında 0'a doğru daha yavaş azalan monoton bir seri var mı ve bu seri yine de ıraksar mı? Böyle bir seri bulunur bulunmaz, aynı soru 1/n 'nin yerini almış f(n) ile de sorulabilir vs. Bu yolla, ıraksaklık ve yakınsaklık arasındaki sınır çizgisini araştırmak mümkündür. İntegral testini kullanarak, her k doğal sayısı için : \sum_^\infty\frac1(n)\ln_k(n)} serisinin hala ıraksadığı gösterilebilir (k = 1 için, asalların terslerinin toplamı ıraksar ile karşılaştırınız.); ancak : \sum_^\infty\frac1(n)(\ln_k(n))^} serisi her ε > 0 için yakınsar. Burada, lnk doğal logaritmanın arka arkaya k kere bileşkesinin alınmasını göstermektedir: : \ln_k(x)= \begin \ln(x)&\textk=1,\\ \ln(\ln_(x))&\textk\ge2. \end Dahası, Nk bu k bileşkenin iyi tanımlı olduğu ve lnk Nk a‰¥ 1 eşitsizliğini sağlayan en küçük doğal sayıyı gösterir; yani : N_k\ge \underbrace}}}}_\ e}=e \uparrow\uparrow k . İlk serinin ıraksaklığını integral testi ile görmek için, zincir kuralının arka arkaya kullanımının : \frac\ln_(x) =\frac\ln(\ln_k(x)) =\frac1\frac\ln_k(x) =\cdots =\frac1, verdiğini görmemiz gerekir. Bu yüzden : \int_^\infty\frac =\ln_(x)\bigr|_^\infty=\infty. İkinci serinin yakınsaklığını görmek için, kuvvet serisi, zincir kuralı ve yukarıdaki sonucun : -\frac\frac1 =\frac1}\frac\ln_k(x) =\cdots =\frac(x)(\ln_k(x))^} verdiğini görmeliyiz. Bu yüzden, : \int_^\infty\frac(x)(\ln_k(x))^} =-\frac1\biggr|_^\infty<\infty olur.

Kaynaklar

Vikipedi

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.

Terim testi
3 ay önce

terim testi sonuçsuzdur; ancak seri integral testi ile ıraksaktır. 1 < p ise, o zaman terim testi sonuçsuzdur; ancak seri yine integral testi ile yakınsaktır...

Harmonik seriler
4 ay önce

kullanılmaktadır. Cauchy testi (kondensasyon) bu testin genelleştirilmiş halidir. Harmonik seri için kullanılan diğer bir yöntem integral ıraksama testi, 1'le sonsuz...

Niels Henrik Abel
4 ay önce

Norveçli matematikçi. Tüberkiloz'dan yaşamını yitirmiştir. Abel grupları Abel integralları Abel değişimleri Abel dönüşümleri Abel denklemi Abel testi...

Niels Henrik Abel, 1802, 1829, 5 Ağustos, 6 Nisan, Abel denklemi, Cauchy, Gerolamo Cardano, Norveç, Paris, Verem
Cauchy yoğunlaşma testi
3 yıl önce

Matematikte Cauchy yoğunlaşma testi sonsuz seriler için kullanılan standard bir yakınsaklık testidir. Pozitif, monoton azalan bir f(n) dizisi için ∑ n...

Luigi Tenco
3 ay önce

Discografia integrale TV TENCO29 Mart 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Luigi Tenco 60's - La verde isola fatta di soli amici Testi delle...

Luigi Tenco, 1938, 1962, 1963, 1964, 1965, 1966, 1967, Mart 21, Müzisyen, Ocak 27
ScientificPython
3 yıl önce

algoritması kullanılarak sayısal integral Sayısal kök bulmak için Newton-Raphson Lineer olmayan en küçük kareler testi Paralel hesaplama desteği Bulk synchronous...

İstatistiksel terimler, kavramlar ve konular listesi
4 ay önce

sınaması aşan yaşam testi aşanlık sınamaları (testleri) aşanların dağılımı Abbe-Helmert ölçütü Abelson-Tukey puan sınaması (testi) açık ardışık taslak...

Karl Weierstrass
4 ay önce

bitirdikten sonra, analitik fonksiyonlar üzerine bir çalışma yaptı. Cauchy İntegral Teoremine ayrı bir yoldan yaklaştı. Cauchy'nin çalışmasını ancak 1842 yılında...

Karl Weierstrass, 1815, 1856, 1864, 1897, 19 ޞubat, 31 Ekim, Augustin Louis Cauchy, Berlin, Bernhard Bolzano, Bernhard Riemann