Türkçe Bilgi logo TürkçeBilgi

Karmaşık Sayı

Kısaca: Matematikte karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. Karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler ...devamı ☟

karmaşık sayı
Karmaşık Sayı

Matematikte karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. Karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler
z = a + \mathbfb\,
Genel olarak karmaşık sayılar için "z" harfi kullanılır. a ve b sayıları gerçel olup \mathbf^2=-1 özelliğini sağlayan sanal birime \mathbf denir. Kimi zaman özellikle elektrik mühendisliğinde \mathbf yerine, \mathbf kullanılır.

Ayrıca matematikte bu sayıların uzayı \mathbb olarak gösterilir. Bu harfin seçilmesinin nedeni İngilizce`de ``karmaşık`` sözcüğünün karşılığı olarak ``complex`` sözcüğünün kullanılmasıdır, nitekim bazı Türkçe kaynaklarda ``complex`` sözcüğünden devşirilen ``kompleks`` sözcüğüne de raslanabilir. Karmaşık sayılara böyle bir adın verilmesinin nedeni ise aşağıda da göreceğimiz gibi gerçel ve sanal kısımların bir arada durmasıdır.

Bütün gerçel sayılar sanal kısımları sıfıra eşit olan birer karmaşık sayı olarak düşünülebilir. Diğer bir deyişle gerçel sayılar, karmaşık sayı düzleminde gerçel sayılar ekseni üzerinde bulunurlar.
z = a + \mathbf\cdot 0 \in \mathbb
Bir z karmaşık sayısının gerçel ve sanal parçaları sırasıyla Re(z) ve Im(z) şeklinde gösterilir. Bütün bu tanımları ve özellikleri bir örnekte gösterelim. z = 4 - 7\mathbf sayısı gerçel kısmı Re(z) = 4, sanal kısmı Im(z) = -7 olan \mathbb uzayında bir karmaşık sayıdır. Gerçel sayılar, karmaşık sayıların alt kümesi olduğu için, \mathbb uzayındaki cebrin hepsi dolayısıyla \mathbb uzayında da tanımlıdır. Bunun dışında karmaşık sayıların başka özellikleri de vardır. Örneğin bir karmaşık sayı düzlemde bir vektör olarak temsil edilebilir.

Tanım

Karmaşık sayılar kümesi birçok şekilde tanımlanabilir. Aşağıdaki tanımların hepsi birbirine eşyapısaldır, yani yapısal olarak biri diğerinin yerine kullanılabilir. Bu yüzden aslında içerik olarak farklı olan aşağıda tanımlanan tüm kümeleri aynı harfle gösterdik, \mathbb. Ayrıca bu simge, sadece karmaşık sayılar dediğimiz öğeleri içeren bir küme olmaktan ötedir, üzerine tanımlayacağımız iki tane ikili işlemi olan bir cisimdir. Üstelik bu cisim, gerçel sayıların en büyük cisim genişlemesidir, yani gerçel sayıları bundan daha fazla genişletemeyiz. Gerçel sayılarla karmaşık sayıların aynı kardinaliteye (öğe sayısına) sahip olduğunu da unutmayalım.

Kartezyen uzay tanımı

Gerçel sayılar kümesinde her sayıyı \mathbf ile çarparsak elde ettiğimiz \mathbf \mathbb kümesi önceki \mathbb kümesine eşyapısaldır. Karmaşık sayılar cismi ise buradan hareketle
\mathbb \equiv \mathbb \times \mathbf \mathbb \equiv \ \, \text \, b \in \mathbf \mathbb \}
olarak tanımlanmış olur. Bu 2 boyutlu kartezyen uzay, Argand düzlemi olarak anılır. Eğer \mathbb yerine tamsayılar cismi \mathbb alınırsa oluşan karmaşık tamsayılar Gauss düzlemindedir. Bu sayılara da Gauss sayıları denir.

Karmaşık sayılar, bu tanımla aşağıdaki gibi ifade edilir: z\in\mathbb olmak üzere;
z = (a,b)
Burada açıkça Re(z)=a ve Im(z)=b dir.

Cisim genişlemesi tanımı

Karmaşık sayılar, gerçel sayılar cisminin bir cisim genişlemesidir. \mathbf sayısı x^2+1 polinomunun köklerinden biridir ve diğer kökü de -\mathbf olur. Bu iki öğenin gerçel sayılarla olan genişlemesinin eşyapısal olduğu kolaylıkla görülebilir:
\mathbb\left(\mathbf\right) \equiv \mathbb\left(-\mathbf \right)
Bu durumda
\mathbb \equiv \mathbb\left(\mathbf \right)
olarak tanımlanır. Daha açık olarak, karmaşık sayılar gerçel sayılar polinom halkasının x^2+1 polinomuyla üretilen bölüm halkasıdır:
\mathbb \equiv \mathbb X / (X^2+1) \equiv \ b \, | \, a,b \in \mathbb \, \}
Bu bölüm halkasında ``X`` öğesinin görüntüsü \mathbf karmaşık birimidir. Bu sayede karmaşık sayılar halkası cebirsel olarak kapalı olur ki bu, gerçel sayıların cebirsel kapanışıdır. Cebirin temel teoremi bunu gerektirir, ``n`` dereceli her polinomun ``tam`` ``n`` kökü vardır. Biz, her karmaşık sayının a + \mathbf b olarak ifade edildiği bu tanıma daha aşinayız.

Matris (dizey) tanımı

Karmaşık sayıları, gerçel katsayılı 2x2`lik matrislerin bir altkümesi olarak düşünebiliriz. Birim sayıları
\mathbf = \begin 1 & 0 \\ 0 & \;\; 1 \end ve \mathbf = \begin 0 & -1 \\ 1 & \;\; 0 \end
olarak tanımlanırsa böylece her bir karmaşık sayı
\mathbf= \mathbf+ \mathbf = \mathbf a + \mathbf b = \begin a & -b \\ b & \;\; a \end
olarak ifade edilebilir ki burada a,b \in \mathbb alınmıştır. Kaldı ki
\mathbf^2 = \begin 0 & -1 \\ 1 & \;\; 0 \end \begin 0 & -1 \\ 1 & \;\; 0 \end = \begin -1 & 0 \\ 0 & \;\; -1 \end = - \begin 1 & 0 \\ 0 & \;\; 1 \end = -\mathbf
olduğu kolaylıkla görülebilir. O halde karmaşık sayılar
\mathbb \quad \equiv \quad \mathbb[1] \quad \sub \quad \mathbf_ \left(\mathbb \right)
şeklinde tanımlanmış olur.

Karmaşık sayılarda işlem

Karmaşık sayılarda cebirsel işlemler gerçel sayıların genişlemesidir. Öncelikle iki karmaşık sayının eşitliğini verelim.

Eşitlik

Bir z = a + \mathbf b ve w = c + \mathbf d karmaşık sayıları için

z=w ancak a=c ve b=d iken geçerlidir.


Toplama

Bir z = a + \mathbf b ve w = c + \mathbf d karmaşık sayıları için
z + w = (a + \mathbf b) + (c + \mathbf d) = (a + c) + \mathbf (b + d) \,


Çarpma

Bir z = a + \mathbf b ve w = c + \mathbf d karmaşık sayıları için
zw = (a + \mathbf b) (c + \mathbf d) = ac - bd + \mathbf (bc + ad) \,


Eşlenik

Bir z = a + \mathbf b karmaşık sayısı için eşlenik ifadesi \mathbf \mapsto -\mathbf dönüşümüdür ve
\bar = a - \mathbf b
ya da matrislerde
\bar } = \mathbf^T = \begin a & b \\ -b & \;\; a \end
olarak tanımlanır.

Eşleniğin cebirsel özellikleri

  • \overline = \overline w + \overline z
  • \overline = z
  • \overline = \overline w \overline z
  • \overline = \overline z / \overline w
  • \overline z = z ancak ``z`` gerçel sayı olduğunda geçerlidir.


Mutlak Değer

Bir z = a + \mathbf b karmaşık sayısı için
|z|^2 = z \bar z = a^2 + b^2
ya da
| \mathbf |^2 = \begin a & -b \\ b & \;\; a \end = a^2 + b^2
olarak tanımlıdır.

Mutlak değerin cebirsel özellikleri

  • | z | = 0 \, ancak z = 0 \, iken geçerlidir.
  • | z w | = | w | \; | z | \,


Çarpımsal Ters

Bir z = a + \mathbf b karmaşık sayısının tersi
z^ = \frac = - \mathbf
olarak ya da bir matrisin tersine uygun olarak
\mathbf^ = } \begin a & b \\ -b & \;\; a \end = \begin & \\ - & \;\; \end
olduğu görülür.

Bölme

Bir z = a + \mathbf b ve w = c + \mathbf d karmaşık sayıları için
\frac = \frac b } d } = (a + \mathbf b) (c + \mathbf d)^ = \frac b) (c - \mathbf d)} d) (c - \mathbf d)} = \frac + \mathbf \frac


Ayrıca bakınız



Linkler



Başvuru ve Kaynaklar



sayılar matematik-taslak

Kaynaklar

Vikipedi

karmaşık sayı

Kesirleri ondalık sayının tersine olarak çeşitli birimlere göre bölümlenmiş sayı, sanal sayı.

İlgili konular

cebirin temel teoremi cisim derece doğal sayılar eşlenik gerçel sayılar görüntü hiperbolik sayılar kök matematik

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.

Karmaşık sayı
2 yıl önce

Matematikte karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. a ve b sayıları gerçek olursa karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler:...

Karmaşık sayı, Cebirin temel teoremi, Cisim, Derece, Doğal sayılar, Eşlenik, Gerçel sayılar, Görüntü, Hiperbolik sayılar, Kök, Matematik
Çifte karmaşık sayılar
6 yıl önce

tane karmaşık birimi olan ya da bir tane hiperbolik iki tane de karmaşık birimi olan kümeye çifte karmaşık sayılar kümesi denir. Bu kümede her sayı z =...

Çifte karmaşık sayılar, Doğal sayılar, Gerçel sayılar, Halka, Hiperbolik sayılar, Karmaşık sayı, Matematik, Oranlı sayılar, Oransız sayılar, Sayı, Tam sayılar
Sayı
2 yıl önce

sayı denmektedir. Sayıları yazılı olarak göstermek için rakamlar kullanılmaktadır. Sayı sistemi, matematikte herhangi bir sayılar kümesidir. Sayılar kümeler...

Matematik, Geometri
Karmaşık Sistem
2 yıl önce

olarak kabul edilebilir. Karmaşık sistemlere odaklanan ilk araştırma enstitüsü olan Santa Fe Enstitüsü 1984 yılında kuruldu. İlk Santa Fe Enstitüsü katılımcıları...
Aşkın sayı
2 yıl önce

karmaşık sayıya aşkın sayı denir. Diğer bir deyişle, katsayıları tam sayı (ya da rasyonel) olan bir polinomun kökü olamayan reel sayılara aşkın sayı denir...

Aşkın sayı, Gerçel sayılar, Matematik, Pi, Polinom, Rasyonel sayılar, İrrasyonel sayı, Tamsayılar
Karmaşık analiz
2 yıl önce

matematik dalıdır. Geleneksel olarak karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi olarak da atfedilir. Matematiğin sayılar teorisi, uygulamalı matematik gibi...
Karmaşık düzlem
2 yıl önce

eşittir. Özelde, modülüsü 1 olan bir karmaşık sayıyla çarpım rotasyon gibi davranır. Karmaşık analizde karmaşık sayılar geleneksel olarak z ile gösterilirler...
Mutlak değer
2 yıl önce

bir karmaşık sayı olduğunu ve, bir karmaşık sayının z = x + i y {\displaystyle z=x+iy\,} olduğunu düşünürsek göreceğiz ki, gerçel sayılarda y katsayısı...

Mutlak değer, í–nerme, Karmaşık sayılar, Karmaşık sayı, Pisagor teoremi, Fonksiyon, Gerçel sayı, Matematik, Üçgen eşitsizliği, Simetri, Eşlenik