--}}

Maksimum Ilkesi (karmaşık Analiz)

maksimum ilkesi veya maksimum modülüs prensibi veya en büyük mutlak değer teoremi holomorf bir f fonksiyonunun tanım kümesi olan bir bölgede fonksiyonun mutlak değeri olan |f| 'nin yerel bir maksimuma sahip olamayacağını belirten önemli bir sonuçtur. Başka bir deyişle, f ya sabit bir fonksiyondur, ya da f 'nin tanım kümesi olan bölgede bulunan her z0 için, z0 'a keyfi derecede yakın ve |f |'nin z0'da alacağı değerden daha büyük değerler veren noktalar bulunur. Teoremin kesin ifadesi C 'nin bağlantılı, açık bir alt kümesi olan D bölgesinde tanımlı, holomorf ve karmaşık değerler alan bir f fonksiyonunu alalım. Eğer z0, kendi etrafındaki belli bir komşuluğundaki tüm z ler için :|f(z_0)|\ge |f(z)| özelliğini sağlayan bir nokta ise, o zaman f, D üzerinde, sabittir. Teoremin kanıtları ve sonuçları Teoremin değişik kanıtları mevcuttur: Teoremin en basit kanıtı, açık gönderim teoremini varsaymakla gerçekleşir. Eğer fonksiyon sabit değilse ve fonksiyonun mutlak değeri yerel bir maksimuma sahipse, o zaman bu yerel maksimum ulaşıldığı nokta etrafındaki, D içinde kalan bir açık komşulukaçık gönderim teoremi sayesinde açık bir kümeye gönderilecektir. Bu açık kümede ise, bariz bir şekilde mutlak değeri f(z_0) 'nun mutlak değerinden daha büyük noktalar vardır ve bu bir çelişkidir. Bir diğer kanıtın genel fikri ise şudur: f 'nin karmaşık doğal logaritması olan :log f(z) = log |f(z)| + i arg f(z) eşitliğini kullanarak ve holomorf fonksiyonların gerçel ve sanal kısımlarının harmonik fonksiyon olduğu gerçeğini gözlemleyerek log |f(z)| 'nin harmonik olduğunu elde ederiz. z0 bu fonksiyon için de yerel bir maksimum olacağı sebebiyle, maksimum ilkesi de kullanılarak, |f(z)| 'nin sabit olduğu elde edilir. O zaman, Cauchy-Riemann denklemlerini kullanarak f'(z)=0 olduğunu gösteririz ve bu sayede, f(z)'nin de sabit olduğu gösterilir. Teoremin hemen arkasından elde edilen bir sonuç ise minimum ilkesidir ve şu bu ilke de şu şekilde ifade edilir: Eğer f, sınırlı bir D bölgesi üzerinde holomorf, bu bölgenin sınırı üzerinde sürekli ise ve f 'nin bu bölge üzerinde sıfırı yoksa, o zaman |f (z)| minimum değerini sınır üzerinde alır. Uygulamalar Maksimum ilkesinin karmaşık analizin değişik yerlerinde birçok kullanımı vardır. Mesela, şu durumlarda kullanılabilir: * Cebirin temel teoremini kanıtlamada (Değişik kaynaklarda bu teoremin bu ilke vasıtasıyla kanıtlandığı görülebilir.), * Schwarz önsavının kanıtlanmasında (ki bu önsavın karmaşık analizin birçok yerinde uygulaması mevcuttur.), * Phragmen-Lindelöf ilkesinin kanıtlanmasında (ki bu ilke de bu maddede açıklanan maksimum ilkesinin sınırsız bölgelere genişletilmesidir.). Kaynaklar * E.C. Titchmarsh, The Theory of Functions (2nci baskı) (1939) Oxford University Press. (5. üniteye bakınız) * Dış bağlantılar * * Maksimum modülüs ilkesi, John H. Mathews tarafından

Kaynaklar

Vikipedi

Görüşler

Bu konuda henüz görüş yazılmamış.
Gürüş/yorum alanı gerekli.
Markdown kodları kullanılabilir.