Türkçe Bilgi logo TürkçeBilgi

Minkowski Uzayzamanı

Kısaca: Fizikte ve matematikte, matematikçi Hermann Minkowski anısına adlandırılan Minkowski uzayı veya Minkowski uzayzamanı, Einstein'ın özel görelilik kuramının en uygun biçimde gösterimlendiği matematiksel yapıdır. Bu yapıda, bilinen üç uzay boyutu tek bir zaman boyutuyla birleştirilerek, uzayzamanı betimlemek için dört boyutlu bir çokkatlı oluşturulmuştur. ...devamı ☟

görelilik-taslak

Fizikte, Özel görelilik kuramının geçerli olduğu dört boyutlu uzayzamana Minkovski uzayzamanı (ya da Minkovski uzayı) denir. Üç uzay boyutu ve bir zaman boyutu içerdiğinden buradaki "olay"lar dört boyutlu manifoldlar olarak ifade edilir. Adını Alman matematikçi Hermann Minkowski`den alır.

Dörtyöneylerde Minkovski iççarpımı

``Ana madde: Minkovski iççarpımı. Ayrıca yöney ve dörtyöney maddelerine bakınız``.


Bir dörtyöney, dört koordinat bileşeni olan yöneydir. Bu maddede dörtyöneyler, ``koyu ve büyük harfler``le gösterilecektir; ``koyu ve küçük harfler``le gösterilenler de üçyöneyler, yani bilinen üç boyutlu yöneyler olacaktır.

Bilindik iççarpıma oldukça benzeyen, hatta bilindik iççarpım cinsinden yazılabilen Minkovski iççarpımı dört boyutlu "hiperbolik" bir iççarpım sunmakta. Eğer dörtyöneyleri \mathbf = (v_0,v_1,v_2,v_3) ve \mathbf=(w_0,w_1,w_2,w_3) olarak seçersek, Minkovski iççarpımı, bileşenler cinsinden
\langle \mathbf,\mathbf \rangle = v_0 w_0 - v_1 w_1 -v_2 w_2 - v_3 w_3
olarak tanımlanabilir. Bilindik iççarpım cinsinden de
\langle \mathbf,\mathbf \rangle = v_0 w_0 - \mathbf \cdot \mathbf
biçimini alır.

Buradan hareketle bir dörtyöneyin boyu da,
{|
|- |\langle \mathbf,\mathbf \rangle |= |\mathbf^2 |- | |= |v_0^2 - v_1^2 -v_2^2 - v_3^2 |- | |= |v_0^2 - \mathbf^2 |} olarak bulunur.

Minkovski iççarpımı, Einstein toplam uzlaşımı kullanılarak da tanımlanabilir. e^\mu ifadesi, birim yöneylerin \mu=0,1,2,3 olan bileşenlerini ifade edecek şekilde her dörtyöney, \mathbf=e^\mu V_\mu ve \mathbf=e^\nu W_\nu olarak yazılabilir. Burada birim yöneylerin Minkovski iççarpımları Minkovski metriğinin birim öğesi eşit olarak tanımlanır:
\langle e^\mu , e^\nu \rangle = \eta^ = \begin 1 && 0 && 0 && 0 \\ 0 && -1 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && -1 && 0 \\ 0 && 0 && 0 && -1\end
Böylece Minkovski iççarpımı
\langle \mathbf,\mathbf \rangle = \eta^ V_\mu W_\nu
olarak yazılmış olur. Bu gösterim genel görelilik kuramı çerçevesinde tensör gösterimlerinde kolaylık sağlamaktadır.

``Daha ilerisi için genel görelilik kuramının biçimsel gelişimi maddesine bakınız.``


Bilinen yöneylerde olanın tersine, dörtyöneylerin boyları ``negatif`` çıkabilir. v_0^2 < \mathbf^2 olduğu zaman dörtyöneyin boyu sıfırdan küçük olacaktır. Bu durum hiperbolik sayılarda da böyle olduğundan bazen dörtyöneyler hiperbolik sayılarla da ifade edilir:
z=v_0 + v_1\hat\mathbf+v_2\hat\mathbf+v_3\hat\mathbf
Burada \mathbf^2=\mathbf^2=\mathbf^2=\mathbf=1 olarak tanımlanan (ve hiçbiri ``1``e eşit olmayan) hiperbolik birim sayılardır. Dörtyöneyin boyu yine aynı kalır. Bazen sadece,
z=v_0 + \mathbf \mathbf
olarak da gösterildiği olur. Burada aynı şekilde \mathbf^2=1 olarak tanımlanır. Bu durumda dörtyöneyin boyu
|z|^2=zz^*=(v_0 + \mathbf)(v_0-\mathbf)=v_0^2 - \mathbf^2 \mathbf^2 = v_0^2 - \mathbf^2
olarak elde edilir.

Dörtkonum

Bilinen şekliyle uzayda yöneyler, üç koordinatla gösterilirler: ``x, y, z``. Ancak özel görelilikte ayrıca zaman koordinatı da uzayın, daha doğrusu uzayzamanın bir parçasıdır. Bu yüzden burada yöneyler, dört koordinata sahip olurlar. Örneğin bilinen biçimiyle bir konum yöneyi,
\mathbf=(x, y, z)
şeklindedir (Bu maddede küçük kalın harfler, üçyöneyleri betimleyecektir). Bu yöney, ``metre`` birimindedir. Bu yöneye bir de t koordinatını eklersek birim karmaşası olacağından onun yerine dördüncü koordinat ``ct`` olarak alınır. Burada ``c`` ışık hızı olduğundan bu koordinat yine ``metre`` biriminde olacaktır. O halde bir dörtyöney,
\mathbf=(ct,\mathbf) = (ct,x,y,z)
olarak gösterilmiş olur.

Bir dörtkonumun boyu
\mathbf^2 = c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2
olarak elde edilir. Burada dörtkonum bir Lorentz değişmezidir, yani Lorentz dönüşümleri altında eylemsiz tüm başvuru çerçevelerine göre değişmezdir. \mathbf dörtkonumu bir ``S`` başvuru çerçevesindeki gözlemcinin uzayzamandaki konumunu ve \mathbf dörtkonumu da ``S`` `ye göre sabit ``u`` hızında hareket eden bir başka S` çerçevesindeki gözlemcinin uzayzamandaki konumunu ifade etsin. O halde,
\mathbf^2 = \mathbf^2
olduğu Lorentz dönüşümleri kullanılarak kolaylıkla gösterilebilir. Bu durum ışık için de geçerlidir ki aslında ışık için dörtkonum doğrudan özel görelilik kuramının ikinci ilkesi olan ``ışık hızının her gözlemciye göre değişmezliği ilkesi``ni ifade eder. Eğer ışık her gözlemciye göre sabit hızla gidiyorsa, ``x=vt`` ifadesinden dolayı her iki yönü de kapsayacak şekilde
|\mathbf| = \pm ct
olarak yazılır. Bu ifadenin karesi alındığında
\mathbf^2 = c^2 t^2
olur ve buradan
c^2 t^2 - x^2 - y^2 - z^2 =0
\mathbf^2 =0
çıkarsanır. Minkovski uzayzamanında bu türden bir yöneye ışınsal yöney denir. Bu yöneyler ``c`` ışık hızında giden parçacıkların hareket denklemidir. Herhangi bir gözlemci için
\mathbf^2 > 0
ise, bu tür yöneylere uzamsal yöney denir. Bu yöneyler, ``c`` hızından düşük hızlarda hareket eden gözlemcileri betimler. Yine eğer bir gözlemci için,
\mathbf^2 < 0
oluyorsa (olabildiği, ``Minkovski iççarpımı`` altbaşlığında irdelenmişti) bu durumda bu yöneylere zamansal yöney denir. Bu yöneyler de ``c`` hızından yüksek hızlardaki gözlemcileri betimler. Bu tür parçacıklara takyon dendiği de olur.

Dörthız

Bilindik biçimiyle bir hız yöneyi üç koordinata sahiptir:
\mathbf=(u_x,u_y,u_z)
Bir hız yöneyi, konum yöneyinin zamana göre türevi şeklinde tanımlandığına göre, yani \tau ``özel zaman`` olmak üzere;
\mathbf= \over d\tau}
olduğundan, dörthız yöneyi de aynı şekilde dörtkonumun zaman göre türevi olarak tanımlanmalıdır:
\mathbf= \over d\tau} = (\frac,\frac,\frac,\frac)
Burada dt = \gamma d\tau olduğundan
\mathbf=(\gamma c,\gamma u_x, \gamma u_y, \gamma u_z) = \gamma (c, u_z, u_y, u_z) = \gamma (c, \mathbf)
olduğu görülür.

Ayrıca dörthızın boyunun
{|
|- |\mathbf^2 |= |\eta^ U_\mu U_\nu |- | |= |\gamma^2 c^2 - \gamma^2 (u_x^2 + u_y^2 + u_z^2) |- | |= |\gamma^2 (c^2 - \mathbf^2) |} olduğu görülebilir. Burada Lorentz çarpanı
\gamma^2 = ^2}^2}^2}
olarak yeniden yazılabilir, o halde dörthız yöneyinin,
\mathbf^2 = c^2
olduğu görülür.

Dörtmomentum

Momentum, kütle ile hızın çarpımıydı,
\mathbf=\gamma m_0 \mathbf = (p_x, p_y,p_z)
Burada da aynı usavurum devam ediyor ancak küçük ayrıntılar oluşmakta:
\mathbf=m_0 \mathbf = \gamma m_0 (c,u_x, u_y, u_z) = m (c,u_x,u_y,u_z)=(mc,p_x,p_y,p_z)
Burada m_0 durgun kütle ve ``m`` göreli kütledir.

Burada dikkat edilmesi gereken şey, dördüncü koordinatın sadece kütle oluşudur (sonuçta ``c`` bir sabit). Bu yüzden dörtmomentumun korunumu aslında Newton fiziğinde "momentumun korunumu" ile "kütlenin korunumu" ilkelerinin ikisini birden kapsar. Böylece iki denklemi
{|
|- |\mathbf + \mathbf=\mathbf + \mathbf | (momentumun korunumu) |- |m_1 + m_2 = m`_1 + m`_2 | (kütlenin korunumu) |} olarak yazmak yerine,
\mathbf+\mathbf=\mathbf+\mathbf (4-momentumun korunumu)
gibi tek bir denklem yazılmış olur. Bunun yanı sıra E=mc^2 olduğundan aslında bu enerjinin de korunumudur ve dörtmomentumun dördüncü bileşenini enerji yapar:
\mathbf=(E / c, \mathbf)


O halde dörtmomentumun boyu, yukarıdaki dörthızın boyunda elde edilen sonuç kullanılarak
{|
|- |\mathbf^2 |= |m_0^2 \mathbf^2 |- | |= |m_0^2 c^2 |} şeklinde elde edilir. Ayrıca, doğrudan boyladığımızda
{|
|- |\mathbf^2 |= |m^2 c^2 - (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2) |- | |= |m^2 c^2 - \mathbf^2 |- | |= |E^2 / c^2 - \mathbf^2 |} olduğundan, bu iki ifade eşitlenince
m_0^2 c^2 = E^2 / c^2 - \mathbf^2
m_0^2 c^4 = E^2 - \mathbf^2 c^2
E_0^2 = E^2 - \mathbf^2 c^2
ortaya özel göreliliğin en temel denklemlerinden biri olan momentum enerji bağıntısı, yani
E^2 = \mathbf^2 c^2 + E_0^2
bağıntısı çıkar.

Dörtivme

İvme, hızın zaman göre türevidir. Bilindik ivme
\mathbf=\over d\tau} = (a_x,a_y,a_z)
şeklinde idi. Bu durumda dörtivme,
{|
|- |\mathbf |= | \over d\tau} |- | |= |\left() \over d\tau},c \frac\right) |- | |= |\gamma \left(\mathbf \frac + \gamma \mathbf , c \frac\right) |} olarak elde edilir (burada \mathbf, üçivmedir). Eğer gözlemciyle aynı andaşlık düzlemindeki ivmeyi inceleyecek olursak, ``u=0`` olacağından
\mathbf=(\mathbf,0)
bulunur. O halde, yalnız ``özel ivme`` \mathbf=0 olduğunda dörtivme \mathbf=0 olacaktır. Oysa \mathbf=0 olsa bile dörthız sıfırlanmıyordu.

Kaynaklar

Vikipedi

İlgili konular

alman enerji eylemsizlik fizik genel görelilik kuramı görelilik hermann minkowski hiperbolik sayılar hız işık hızı

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.