Picard Teoremi

Kısaca: Picard teoremi (''Pikar teoremi'' olarak okunur) analitik bir fonksiyonun görüntü kümesiyle ilişkin ayrı ayrı ama yine de birbirine bağlı iki teoremdir. ...devamı ☟

Picard teoremi
Picard Teoremi

Picard teoremi (Pikar teoremi olarak okunur) analitik bir fonksiyonun görüntü kümesiyle ilişkin ayrı ayrı ama yine de birbirine bağlı iki teoremdir. Teoremlerin ifadesi

Küçük Picard

"

Küçük Picard

" adı da verilen ilk teorem, tam bir f(z) fonksiyonunun görüntü kümesinin ya tüm karmaşık düzlem ya da karmaşık düzlemin bir noktası hariç hepsi olduğunu ifade eder. Bu teorem, Picard tarafından 1879 yılında kanıtlanmıştır. Sabit olmayan bir tam fonksiyonun görüntü kümesinin sınırsız olacağını ifade eden Liouville teoreminin önemli bir şekilde güçlendirilmiş halidir.

Büyük Picard

"

Büyük Picard

" adı da verilen ikinci teorem, eğer f(z) 'nin w 'da esaslı tekilliği varsa, w 'yu içeren herhangi bir açık kümede f(z) 'nin en fazla bir değer hariç olmak üzere tüm değerleri sonsuz kere alacağını ifade eder. Bu teorem de f 'nin görüntü kümesinin karmaşık düzlemde yoğun olacağını ifade eden Weierstrass-Casorati teoreminin önemli bir şekilde güçlendirilmiş halidir. Notlar * 'İstisna noktası' her iki teoremde de gereklidir: ez]] tam fonksiyondur, hiçbir zaman 0 olmaz, e1/z 'nin 0 'da esaslı tekilliği vardır ama yine de 0 değerini almaz. * "

Büyük Picard

", meromorfik fonksiyonlara da uygulanan biraz daha genel biçimiyle doğrudur: Eğer M, Riemann yüzeyiyse, w, M üzerinde bir nokta ise, P1C = CRiemann küresini gösteriyorsa ve f : M \ → P1C , w noktasında esaslı tekilliği olan holomorf bir fonksiyonsa, o zaman f, M 'nin w 'yu içeren herhangi bir açık kümesinde, P1C 'nin en fazla iki noktası hariç tüm değerleri sonsuz kere alır. :Örneğin, f(z)=1/(1-exp(1/z)) 'nin z = 0 'da esaslı tekilliği vardır ve ∞ değerini 0 'ın herhangi bir komşuluğunda sonsuz kere alır; ancak hiçbir zaman 0 ve 1 değerlerini almaz. * Bu genelleştirmeyle beraber, "

Küçük Picard

" "

Büyük Picard

"dan çıkarılabilir çünkü bir tam fonksiyon ya polinomdur ya da fonksiyonun sonsuzda esaslı tekilliği vardır. * Bernhard Elsner'in son zamanlardaki bir hipotezi (Ann. Inst. Fourier 49-1 (1999) s.330) "

Büyük Picard

" ile ilgilidir: D-\ karmaşık düzlemde delikli birim disk olsun ve U_1,U_2, \dots ,U_n, D-\ 'ın sonlu açık bir kapsanışı olsun. Her U_j üzerinde bir holomorf f_j fonksiyonunun var olduğunu varsayalım öyle ki her U_jnU_k kesişimi üzerinde df_j = df_k olsun. O zaman, D birim diski üzerinde diferansiyeller birleşerek bir meromorfik 1-form oluştururlar. (Kalıntının sıfır olduğu özel durumda, hipotez Picard teoremiyle çözülebilir.) * John B. Conway, Functions of One Complex Variable I, Springer, 2nci baskı, 1978, ISBN 0-387-90328-3 Ayrıca bakınız * Picard-Lindelöf teoremi, adi diferansiyel denklemlerle ilgili alakasız bir teorem.

Kaynaklar

Vikipedi

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.

Karmaşık Analiz Konuları Listesi
5 yıl önce

Borel-Carathéodory teoremi Hadamard üç-çember teoremi Hardy uzayı Hardy teoremi Progresif fonksiyon Corona teoremi Maksimum modülüs teoremi Nevanlinna teorisi Picard teoremi...

Liouville teoremi (karmaşık analiz)
2 yıl önce

f sabittir. Teorem, büyük ölçüde, en az iki karmaşık sayıyı almayan her tam fonksiyonun sabit olacağını söyleyen Picard'ın küçük teoremi ile iyileştirilmiştir...

Tam fonksiyon
2 yıl önce

bir polinomdur. Liouville teoremi Cebirin temel teoremi'nin şık bir kanıtı için de kullanılabilir. Picard'ın küçük teoremi, Liouville teoreminin epeyce...

Weierstrass-Casorati teoremi
5 yıl önce

Weierstrass-Casorati teoremi, holomorf fonksiyonların esaslı tekillikler civarındaki olağanüstü davranışlarını açıklayan bir ifadedir. Teorem, Karl Theodor Wilhelm...

Esaslı tekillik
5 yıl önce

etrafındaki davranışları Weierstrass-Casorati teoremi tarafından ve epeyce daha güçlü olan Picard'ın büyük teoremi tarafından açıklanır. Sonraki ifade, esaslı...

Sıfır (karmaşık analiz)
5 yıl önce

Rouché teoremi kullanılır. Karmaşık analizin sıfırları ilgilendiren önemli teoremleri arasında Jensen formülü ve Weierstrass çarpanlara ayırma teoremi de...

Jean Gaston Darboux
2 yıl önce

Darboux problemi Simplektik geometri'de Darboux teoremi Gerçel analiz'de Darboux teoremi, Orta değer teoremi ile ilişkilidir. Darboux formülü Christoffel–Darboux...

Stefan Banach
2 yıl önce

paradoksu, Hahn-Banach teoremi, Banach-Steinhaus teoremi, Banach-Mazur oyunu, Banach-Alaoglu teoremi, ve Banach sabit nokta teoremidir. Stefan Banach, 30...