polinom

Polinom (fr. polynome). Mat. Polinom fonksiyon, bir cisim veya değişli bir halka içinde, bu cisim veya halkadaki bir x elemanının, oransal ve tam bir ifade ile tanımlanan f uygulaması. Biçimsel polinom, bir cisim veya daha genel olarak değişli bir halka içinde belirli bir sıradan başlayarak hepsi sıfır olan terimler dizisi; işlemler bu dizilerin üzerinden tanımlanır.

Polinom

— Mat. Değişli olduğu düşünülen bir halka içinde, bir P polinomu P =(ao,a1,a2….an,0.0,….) şeklinde yazılabilir.

a0, a1, a2, ...an reel sayı, x değişken ve n de doğal sayı olmak üzere;

a0xn +a1xn-1+a2xn-2+ ...+an-1x+ an

şeklindeki ifade. Polinomlar P (x), Q (x), ile gösterilir.

Bu kısaca [1] şeklinde gösterilebilir, a0, a1, a2, … nicelikleri P polinomunun katsayılarıdır, her katsayının indisi, kendi sırasının bir büyüğüne eşittir. Sıfır olmayan bir tek an katsayısı vardır ve bundan sonra gelenlerin hepsi sıfırdır; n'ye P'nin derecesi denir. İki polinom aynı sıradan alınmış aynı katsayılardan meydana gelmişse birbirine eşittir. Bir tek katsayı sıfırdan farklı ise, polinom bir birterimli olur. iki polinomun toplamı aynı sıradaki katsayıları toplanarak elde edilir; toplam polinomun derecesi, en çok bu iki polinomdan birinin derecesine eşit olur; bir halka veya bir cisim üzerindeki polinomların cümlesi toplama için değişli bir gruptur; etkisiz elemanın (sıfır polinom) bütün katsayıları sıfırdır.

Bir polinomu bir skalerle çarpmak için, katsayılardan her biri bu skalerle çarpılır: X [2] = [3]. Bir cisim veya bir tamlık halkası için, XP çarpımının derecesi P'nin derecesine eşittir. Tamlık halkası olmayan bir halka için, bu derece P'ninkinden küçük olabilir; gerçekten, “Kan çarpımı, çarpanlardan hiç biri sıfır olmasa da sıfır olabilir. Bir cismin üzerindeki polinomlar cümlesi vektör uzayı yapısına sahiptir; sıfır olmayan ai ve bj katsayılı iki birterimlinin çarpımı, ai bj katsayıları sıfır olmayan, i + j dereceden bir birterimlidir. iki [4] ve [5] polinomunun çarpımı, ok katsayısının değeri €ai bj olan bir polinomdur; toplam i + j = k bağıntısını veren katsayılar üzerinden alınmıştır. Çarpımın derecesi en çok iki polinomun dereceleri toplamına eşit olur. Bir cisim veya bir tamlık halkası söz konusu ise, çarpımın derecesi yine iki polinomun dereceleri toplamına eşittir. Bir A halkası üzerindeki polinomların cümlesi de bir halka, yani A üzerindeki polinomlar halkasıdır. Bir K cismi içinde, X= (0,1,0,-0,…) polinomu göz önüne alınırsa

X2 = (0,0,1,0), X3 = (0,0,0,1,0…) v.b. elde edilir ve P = (ao. aı, … an, 0,0, …) polinomu P = ao X° + aı X1 + a2 X2 + … + anXn şeklinde yazılabilir. X'e, K cismi üzerinde alınmış sayısal bir değer verilirse, P bir polinom fonksiyonu gösterir. R gerçek sayılar cismi ve C karmaşık sayılar cismi içinde, x'in her değeri için, aynı sayısal değeri alan iki polinom özdeştir; bunların indirgenemez polinomların çarpımı halinde ayrılışı ancak bir şekilde mümkündür; C cismi halinde, bu işlemden d'Alembert teoremi çıkar: n'inci dereceden bir polinomun n kökü vardır. Fakat bu özellik genelleştirilemez: mesela, modülo p uygunluklarının Z/p cismi içinde (p asal bir sayı olmak üzere) farklı iki polinom, değişkenin bütün değerleri için aynı sayısal değeri alabilir. Çok değişkenli polinomlar hali, katsayılarında birçok indis bulunan biçimsel polinomlar yardımıyle incelenir.

polinom

Türkçe polinom kelimesinin İngilizce karşılığı.
n. polynomial

İlgili konuları ara

Yanıtlar