Rasyonel Sayılar

Kısaca: Matematikte, rasyonel veya oranlı sayılar (veya kesirler) iki tamsayının birbirine oranı ile ifade edilebilen sayılardır. Oranlı sayılar b sıfır olmamak üzere a/b şeklinde (a ve b tamsayı) yazılabilir. 2/3 ve 4/6 veya 6/9 eşdeğer oranlı sayılardır. Dolayısıyla her oranlı sayı sonsuz şekilde ifade edilebilir. Oranlı sayıların en basit formu a ve b tamsayılarının ortak böleninin olmadığı a/b ifadesidir. ...devamı ☟

Rasyonel sayılar
Rasyonel Sayılar

Matematikte, rasyonel veya oranlı sayılar (veya kesirler) iki tamsayının birbirine oranı ile ifade edilebilen sayılardır. Oranlı sayılar b sıfır olmamak üzere a/b şeklinde (a ve b tamsayı) yazılabilir. 2/3 ve 4/6 veya 6/9 eşdeğer oranlı sayılardır. Dolayısıyla her oranlı sayı sonsuz şekilde ifade edilebilir. Oranlı sayıların en basit formu a ve b tamsayılarının ortak böleninin olmadığı a/b ifadesidir.

A bir tam sayı B sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere A/B şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir.Payda sıfır olursa tanımsız olur.Rasyonel sayılar Q sembolü ile gösterilir.

Her tam sayı aslında bir rasyonel sayıdır. Çünkü her tam sayının altında gizli 1 vardır.Bunu açığa çıkartınca sayı rasyonel sayıya dönüşür.

N: Doğal sayılar, Z: Tam sayılar, Q: Rasyonel sayılar

Ondalık kesirler ve devirli ondalık açılımlar birer rasyonel sayıdır.

Basit Kesir: Payı küçük paydası büyük olan kesirlerdir.

Bileşik Kesir: Payı büyük paydası küçük olan kesirlerdir.Pay ve paydası aynı olan kesirlerde bileşik kesirdir.

Tamsayılı Kesir: Bir sayma sayısı ve bir basit kesir ile birlikte yazılan kesirlerdir.Her bileşik kesir aynı zamanda tamsayılı kesirdir.

Bileşik kesirler tam sayılı kesre çevrilirken;

Pay paydaya bölünür.Bölüm tam sayı,kalan pay,bölen payda olarak yazılır.

Rasyonel Sayıların Sayı Doğrusunda Gösterilmesi:

Pozitif işaretli basit kesirler sayı doğrusunda her zaman 0 ile 1 arasında gösterilir.

Negatif işaretli basit kesirler sayı doğrusunda her zaman -1 ile 0 arasında gösterilir.

Bileşik kesirler sayı doğrusunda gösterilmeden önce tam sayılı kesre dönüştürülür.Tam sayılı kesre sıfırdan başlayarak tam sayı kadar yol aldırılır.Daha sonra şu yol izlenir.Bir sonraki tam sayıya kadar olan aralık,tamsayının yanındaki kesrin paydası kadar parçalanarak pay kadar yol aldırılır.

Rasyonel Sayılarda Sıralama:

Pozitif rasyonel sayılarda sıralama yaparken paydalar eşitlenir,payı büyük olan büyüktür.

Pozitif rasyonel sayılarda sıralama yaparken paylar eşitlenirse,paydası büyük olan küçüktür.

Negatif rasyonel sayılarda sıralama yaparken, pozitif rasyonel sayılardaki gibi sıralama yapılır.Sonra sıralamanın tam tersi alınır.

Negatif ve pozitif rasyonel sayılar karışık verilirse yine payda eşitlenir.Negatif olanların daima küçük,pozitif olanların daima büyük olduğu unutulmamalıdır.

Rasyonel sayıları sıralarken sayı doğrusuna da kullanabiliriz.Sağdan kalanlar hep büyük olur,solda kalanlar hep küçük olur.

Rasyonel Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Rasyonel sayılarda toplama ve çıkarma işlemlerini yapabilmek için paydaları eşitlememiz gerekir.Paydalar eşitlendikten sonra paylar toplanır veya çıkarılır,payda ortak payda olarak yazılır.

Rasyonel Sayılarda Çarpma ve Bölme İşlemleri

Rasyonel sayılarda çarpma işlemini yaparken payla pay,paydayla payda çarpılır.

Rasyonel sayılarda bölme işlemini yaparken 1.kesrimiz aynen yazılır, 2. kesrimiz ters çevrilip ilk kesirle çarpılır.

A. TANIM

a ve b tam sayı, b ¹ 0 olmak üzere, şeklinde ifade edilen sayılara rasyonel sayı veya kesir denir. 

               Pay
                        Kesir cizgisi
                        Payda

·
·

B. KESİR ÇEŞİTLERİ

1. Basit Kesir

İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir.

  • basit kesir ise 

  • pozitif basit kesir ise ;

2. Bileşik Kesir

İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olmayan (büyük veya eşit olan) kesirlere bileşik kesir denir.

  • bileşik kesir ise,

3. Tam sayılı Kesir 

Herhangi bir sayma sayısı ile birlikte yazılabilen kesirlere tam sayılı kesir denir.

Her bileşik kesir bir tamsayılı kesir biçiminde yazılabilir.

C. RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER

1. Genişletme ve Sadeleştirme

k ¹ 0 olmak üzere,

 

2. Toplama - Çıkarma

Toplama ve çıkarma işleminde payda eşitlenecek biçimde kesirler genişletilir ya da sadeleştirilir. Oluşan kesirlerin payları toplanır (ya da çıkarılır) ortak payda alınır.

3.Çarpma -Bölme

4. İşlem Önceliği

Toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma işlemlerinden bir kaçının birlikte bulunduğu rasyonel sayılarda işlemler, aşağıdaki sıraya göre yapılır.

  1. Parantezler ve kesir çizgisi işleme yön verir.
  2. Üslü işlemler varsa sonuçlandırılır.
  3. Çarpma - bölme yapılır.
  4. Toplama - çıkarma yapılır.
Toplama ile çıkarma ve çarpma ile bölme kendi arasında öncelik taşımaz. Özellikle çarpma ile bölmede öncelik söz konusu ise bu, parantezle belirlenir.

D. ONDALIKLI SAYILAR

1. Ondalıklı Sayı

a bir tam sayı ve n bir sayma sayısı ise biçimindeki rasyonel sayılara ondalıklı sayı denir.

Burada a ya tam kısım, bcd   ye de  ondalıklı kısım denir.

2. Devirli (Periyodik) Ondalıklı Sayı

Bir ondalıklı sayıda ondalıklı kısım belli bir kurala göre tekrarlanıyorsa bu sayıya devirli ondalıklı sayı denir.

Devreden kısım üzerine (—) işareti konulur.

a,bcbcbc ... = a, bc dir.

3. Ondalık Sayılarda İşlemler

a. Toplama - Çıkarma: Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama - çıkarma işleminde olduğu gibi toplama - çıkarma işlemi yapılır. Sonuç, virgüllerin hizasından virgülle ayrılır.

b. Çarpma: Ondalık kesirlerin çarpımı yapılırken, virgül yokmuş gibi çarpma işlemi yapılır. Sonuç, çarpılan sayıların virgülden sonraki basamak sayılarının toplamı kadar, sağdan sola doğru virgülle ayrılır.

c. Bölme: Ondalık kesirlerin bölme işlemi yapılırken, bölen virgülden kurtulacak biçimde 10 un kuvveti ile çarpılır. Bölen de aynı 10 un kuvveti ile çarpılarak normal bölme işlemi yapılır.

4. Devirli Ondalık Sayıların Rasyonel Sayıya Dönüştürülmesi

                              Tüm sayı - Devretmeyen sayı
Verilen sayı=   
                     Devreden rakam sayısı kadar 9devretmeyen
                             kadar rakam sayısı kadar 0(sıfır)

Devreden 9 ise bir önceki rakam 1 artırılır.

3,  =4; 3,59 =3,6 dir.

E. RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA

Pozitif kesirlerde sıralama yapılırken aşağıdaki yollardan biri kullanılır.

I. Yol:

Paydaları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür.

II. Yol:

Payları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden paydası en küçük olan diğerlerinden daha büyüktür.

III. Yol:

Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, basit kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür.

Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, bileşik kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha küçüktür.

Yukarıda verilen yöntemler pozitif kesirlerde geçerlidir. Negatif kesirlerde ise durum tersinedir.

F. İKİ RASYONEL SAYI ARASINDAKİ SAYILAR

arasında sayılamayacak çoklukta rasyonel sayı vardır. Bunlardan bazılarını bulmak için b ile d nin OKEK i bulunur. Verilen kesirlerin paydaları bulunan OKEK inde eşitlenir. İstenen koşuldaki sayıyı bulmak için kesirler genişletilebilir.

Ü x, kesirlerinin ortasındaki bir sayı ise,

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.

Rasyonel sayılar Resimleri

Reel sayılar
2 yıl önce

Matematikte reel sayılar (gerçel ya da gerçek sayılar) kümesi, Fransızca réel “gerçek” den gelmektedir. Oranlı sayılar (rasyonel sayılar) kümesinin evrim...

Reel sayılar, Reel sayılar
Sayı
2 yıl önce

sayı denmektedir. Sayıları yazılı olarak göstermek için rakamlar kullanılmaktadır. Sayı sistemi, matematikte herhangi bir sayılar kümesidir. Sayılar kümeler...

Matematik, Geometri
Cebirsel sayılar
2 yıl önce

Cebirsel sayılar, katsayıları tam sayılar olan bir polinomun kökü olarak ifade edilebilen sayılardır. Örneğin tüm rasyonel sayılar aynı zamanda bir cebirsel...

P-sel sayılar
2 yıl önce

p-sel sayılar, rasyonel sayıların p-sel norma göre genişletilmesiyle elde edilirler, p-sel sayılar cismi geleneksel olarak Q p {\displaystyle \mathbb {Q}...

P-sel sayılar, P-sel sayılar
Model Teorisi
2 yıl önce

önermesinin reel sayılar için doğru olduğu yani belirtilen koşulu sağlan bir x olduğu bellidir; fakat aynı önerme rasyonel sayılar için yanlıştır. Buna...

Model Teorisi, Kompleks Sayılar, Kurt Gödel, Matematik, Matematiksel sistem, Reel Sayılar, Taslak, Tersine Matematik, Aksiyomatik küme kuramı, Tanıtlama kuramı, Zermelo-Fraenkel aksiyomlarıyla
Tamlık aksiyomu
2 yıl önce

durumda K'ya Tamlık aksiyomunu sağlar denir. Reel sayılar cismi R bu aksiyomu sağlar, Q rasyonel sayılar cismi bu aksiyomu sağlamaz. örneğin {(n+1/n)n :...

Tamlık aksiyomu, Cisim, Matematik, Reel sayılar, Taslak
Matematik eğitimi
5 yıl önce

geliştirilebilir. Doğal sayılar Tam sayılar Rasyonel sayılar Problemler Düzlem geometri Oran orantı Cebir Dönüşüm Geometrisi Üslü sayılar Kareköklü ifadeler...

Aşkın sayı
2 yıl önce

karmaşık sayıya aşkın sayı denir. Diğer bir deyişle, katsayıları tam sayı (ya da rasyonel) olan bir polinomun kökü olamayan reel sayılara aşkın sayı denir...

Aşkın sayı, Gerçel sayılar, Matematik, Pi, Polinom, Rasyonel sayılar, İrrasyonel sayı, Tamsayılar