Runge Teoremi

Kısaca: ye sadece bu üç noktada kutupları olan rasyonel fonksiyonlarla istendiği kadar yaklaşım yapılabilir. ...devamı ☟

Runge teoremi
Runge Teoremi

ye sadece bu üç noktada kutupları olan rasyonel fonksiyonlarla istendiği kadar yaklaşım yapılabilir.]] Karmaşık analizde Runge yaklaşım teoremi olarak da bilinen Runge teoremi' 1885 yılında Alman matematikçi Carl Runge tarafından kanıtlanmış bir sonuçtur. Teorem, Runge'ye ithafen isimlendirilmiştir ve şunu ifade etmektedir: K karmaşık sayılar kümesi \mathbb nin tıkız bir altkümesiyse, A kümesinin içinde \mathbb\backslash K nin sınırlı bağlantılı bileşenlerinin her birinden en az bir karmaşık sayı bulunuyorsa ve f fonksiyonu K üzerinde holomorfsa, o zaman kutupları A içinde olan rasyonel fonksiyonlardan oluşan bir (r_n) dizisi vardır öyle ki bu (r_n) dizisi f 'ye K üzerinde düzgün bir şekilde yakınsar. A kümesinin herhangi bir noktası, bu (r_n) dizisini oluşturan rasyonel fonksiyonların kutup noktası olmak zorunda değildir. Burada bilinen ise şudur: (r_n) dizisindeki rasyonel fonksiyonların kutupları varsa, o zaman bunlar A nın içindedir. Bu teoremi güçlü kılan şeylerden birisi de teoremdeki A kümesinin istenilen bir şekilde seçilebilmesidir. Başka bir deyişle, \mathbb\backslash K nin sınırlı bağlantılı bileşenlerinden istenilen şekilde karmaşık sayılar seçilebilir. O zaman, teorem sadece bu seçilen sayılarda kutupları olan bir rasyonel fonksiyon dizisinin varlığını garanti eder. \mathbb\backslash K nin bağlantılı küme olduğu özel durumda, teoremdeki A kümesi açık bir şekilde boş olacaktır. Kutup noktaları olmayan rasyonel fonksiyonlar aslında polinomlardan başka bir şey olmadığı için, teoremin şu sonucu elde edilecektir: Eğer K, \mathbb nin tıkız bir altkümesiyse, \mathbb\backslash K bağlantılı bir kümeyse ve f fonksiyonu K üzerinde holomorfsa, o zaman f 'ye K üzerinde düzgün bir şekilde yakınsayan bir polinom dizisi (p_n) vardır. Bu teoremin biraz daha genelleştirilmiş hali ise A kümesi Riemann küresinin, yani \mathbb∪ un, altkümesiyse ve ayrıca A nın (şimdi ∞'u da kapsayan) K kümesinin sınırsız bağlantılı bileşeninle kesişimi varsa elde edilir. Yani, üstte verilen formülasyonda rasyonel fonksiyonların sonsuzda kutupları var olabilirken, daha genel durumdaki formülasyonda, kutup K nin sınırsız bağlantılı bileşenindeki herhangi bir yerde seçilebilir. Ayrıca bakınız * Mergelyan teoremi * John B. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer; 2nci baskı (1997), ISBN 0-387-97245-5.--Fonksiyonel Analizde Bir Ders. * Robert E. Greene and Steven G. Krantz, Function Theory of One Complex Variable, American Mathematical Society; 2nci baskı (2002), ISBN 0-8218-2905-X.--Bir Karmaşık Değişkenli Fonksiyon Teorisi.

Kaynaklar

Vikipedi

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.