Sönümlü Poisson Denklemi

Sönümlü Poisson Denklemi : :

u(\mathbf) = - f(\mathbf)

biçiminde Kısmi Diferansiyel Denklemdir. Burada

\Delta

Laplasyene, f herhangi bir (kaynak fonksiyonu olarak da bilinen) konum fonksiyonuna, ve u da belirlenecek fonksiyona karşılık gelmektedir. Sönümlü Poisson Denklemi sık sık Hideki Yukava'nın mezonlar teorisini ve de plazmada elektrik alan sönümlenmesini içeren fizik alanlarında karşımıza çıkar. Homojen durumda (f=0), sönümlü Poisson denklemi, zamandan bağımsız Klein-Gordon denklemi ile aynıdır. İnhomojen durumda ise sönümlü Poisson denklemi, İnhomojen Helmholtz Denklemine çok yakındır, tek fark köşebentlerin içindeki işarettir. Genellemeyi kaybetmeden, λ'yı negatif olarak almayacağız. λ sıfır olduğu zaman , denklem Poisson denklemi olacaktır. Dolayısıyla, λ çok küçük olduğu zaman, boyutun n=3 olduğu ve de 1/r fonksiyonlarının kaynak fonksiyonu f ile süperpozisyon olduğu sönümsüz Poisson denkleminin çözümüne bizim çözümümüz yaklaşacaktır. :

u(\mathbf)_)} = \iiint \mathrm^3r' \frac')} - \mathbf'|}.

Diğer taraftan, λ çok büyük olduğu zaman, u , f/λ² değerine ulaşacaktır ki bu da λ sıfıra giderken sonsuza gidecektir. Göreceğimiz gibi, λ'nın normal değerleri için çözüm sönümlü 1/r fonksiyonları ile sönümün gücünü gösteren λ 'nın süperpozisyonu olacaktır. Sönümlü Poisson Denklemi genel bir f için Green fonksiyonu yöntemini kullanarak çözülebilir. Green Fonksiyonu G :

G(\mathbf) = - \delta^3(\mathbf).

olarak tanımlanır. u ve onun türevlerinin büyük r değerleri için sıfırlandığını varsayarsak, sürekli Fourier dönüşümünü uzaysal koordinatlarda uygulayabiliriz; :

G(\mathbf) = \iiint \mathrm^3r \; G(\mathbf) e^ \cdot \mathbf}

Burada integral tüm uzay üzerinden alınmıştır, anlaşılır şekilde şu da gösterilebilir :

G(\mathbf) = 1.

r argümanlı Green fonksiyonunu ters Fourier dönüşümü yapılarak bulunabilir, :

G(\mathbf) = \frac \; \iiint \mathrm^3\!k \; \frac \cdot \mathbf}}.

Bu integralin değeri k-uzayında Küresel koordinatları kullanarak bulunabilir. Açısal koordinatlar üzerinden integral açık bir şekilde, bir bölü çizgisel dalga numarası

k_r

na dönüşür: :

G(\mathbf) = \frac \; \int_0^ \mathrmk_r \; \frac.

Bu ise Çizgi integrali kullanılarak bulunabilir ve sonuç : :

G(\mathbf) = \frac}.

Daha sonra problemin tümü için çözüm :

u(\mathbf) = \int \mathrm^3r' G(\mathbf - \mathbf') f(\mathbf') = \int \mathrm^3r' \frac - \mathbf'|}} - \mathbf'|} f(\mathbf').

olarak bulunur. Üsttede belirtildiği gibi bu sönümlenmiş 1/r fonksiyonlarının kaynak fonksiyonu ile güçlendirilip sönümlenme gücü gibi davranan λ ile süperpozisyonudur. Sönümlenmiş 1/r fonksiyonu genellikle fizikte Yukawa Potansiyeli olarak da bilinen sönümlenmiş Coulomb potansiyeli olarak karşımıza çıkar. İki Boyutta: Manyetik Plazma düşünüldüğünde sönümlü poisson denklemi 2boyutluya benzerdir: :

\left( \Delta_\perp -\frac \right)u(\mathbf_\perp) = -f(\mathbf_\perp)

burada

\Delta_\perp=\nabla\cdot\nabla_\perp

\nabla_\perp=\nabla-\frac}\cdot \nabla

\mathbf

manyetik alana ve

\rho

ise Larmor radius a tekamül etmektedir. İlgili Green fonksiyonunun Fourier dönüşümü : :

G(\mathbf) = \int\int d^2 r~G(\mathbf_\perp)e^_\perp\cdot\mathbf_\perp}

Daha sonra 2 boyutlu sönümlü poisson denklemi ile :

\left( k_\perp^2 +\frac \right)G(\mathbf_\perp) = 1

olur. Dolayısıyla ters Fourier dönüşümü ile Green fonksiyonu: :

G(\mathbf_\perp) = \frac \; \int\int \mathrm^2\!k \; \frac_\perp \cdot \mathbf_\perp}}.

halini alır. k-uzayda (k'nın uzayın bazları olduğu kabul edildiğinde) Kutupsal koordinatlar kullanılarak bu integral çözülebilir : :

\mathbf_\perp = (k_r\cos(\theta),k_r\sin(\theta))

Açısal koordinatlardan integral hesap edildiğinde, bu integral bir bölü çizgisel dalganumarası

k_r

'na dönüşür: :

G(\mathbf_\perp) = \frac \; \int_^ \mathrmk_r \; \frac}.

Ayrıca bakınız * Yukawa Etkileşimi

Kaynaklar

Vikipedi

Sönümlü Poisson Denklemi

Sönümlü Poisson Denklemi Hakkında Detaylı Bilgi

Kaynaklar

Görüşler ve Yorumlar