Türkçe Bilgi logo TürkçeBilgi

Binom Dönüşümü

Kısaca: binom dönüşümü bir dizinin ileri farklarını hesaplamaya yarayan bir dizi dönüşümüdür. Kavram, binom dönüşümünün Euler dizisine uygulanması sonucu oluşan Euler dönüşümüyle yakından ilintilidir. ...devamı ☟

binom dönüşümü bir dizinin ileri farklarını hesaplamaya yarayan bir dizi dönüşümüdür. Kavram, binom dönüşümünün Euler dizisine uygulanması sonucu oluşan

Euler dönüşümü

yle yakından ilintilidir. Tanım Bir \ dizisinin binom dönüşümü (T) :s_n = \sum_^n (-1)^k a_k olarak tanımlanan \ dizisidir. (Ta)_n = s_n yazımında T bir sonsuz boyutlu işleci göstermektedir. Bu işlecin elemanları şu biçimde gösterilebilir: :s_n = (Ta)_n = \sum_^\infty T_ a_k Bu dönüşüm bir kıvrılmadır. :TT = 1 Bu, farklı bir biçimde de gösterilebilir. :\sum_^\infty T_T_ = \delta_ Burada δ Kronecker delta işlevini göstermektedir. :a_n=\sum_^n (-1)^k s_k işlemiyle özgün diziye geri dönülebilir. Bir dizinin binom dönüşümü o dizinin n. ileri farkıdır. :s_0 = a_0 :s_1 = - (\triangle a)_0 = -a_1+a_0 :s_2 = (\triangle^2 a)_0 = -(-a_2+a_1)+(-a_1+a_0) = a_2-2a_1+a_0 :\dots\, :s_n = (-1)^n (\triangle^n a)_0 Burada Δ ileri fark işlecini simgelemektedir. Binom dönüşümü zaman zaman ek bir imle gösterilmektedir. Bu gösterimde dönüşüm :t_n=\sum_^n (-1)^ a_k biçiminde ifade edilirken bu ifadenin tersi :a_n=\sum_^n t_k olarak yazılır. Örnek Binom dönüşümleri fark tablolarında kolaylıkla gözlenebilmektedir. 0, 1, 10, 63, 324, 1485, … biçimindeki en üst satır ((2n^2+n) 3^ tarafından tanımlanan bir dizi) 0, 1, 8, 36, 128, 400, … köşegeninin (n^2 2^ tarafından tanımlanan bir dizi) binom dönüşümüdür. Değişim durumları Binom dönüşümü Bell sayılarının değişim işlecidir. Başka bir deyişle, :B_=\sum_^n B_k eşitliği sağlanmaktadır. Burada B_n Bell sayılarını göstermektedir. Olağan üretici işlev Dönüşüm, diziyle ilişkilendirilmiş üretici işlevleri birbirine bağlamaktadır.

Olağan üretici işlev

 için :f(x)=\sum_^\infty a_n x^n ve :g(x)=\sum_^\infty s_n x^n eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. Buradan :g(x) = (Tf)(x) = \frac f\left(\frac\right) ifadesine ulaşılabilir. Euler dönüşümü Olağan üretici işlevler arasındaki ilişki zaman zaman

Euler dönüşümü

 olarak adlandırılmaktadır. İki farklı biçimde var olan dönüşüm, almaşık dizilerin yakınsaklığını hızlandırabilmektedir. Başka bir deyişle, :\sum_^\infty (-1)^n a_n = \sum_^\infty (-1)^n \frac } ifadesinde x yerine 1/2 konularak 1'e ulaşılabilir. Sağdaki terimler çok hızlı bir biçimde küçüldüklerinden bu toplam kolaylıkla hesaplanabilir.

Euler dönüşümü

şu biçimde genellenbilir: p = 0, 1, 2, … için :\sum_^\infty (-1)^n a_n = \sum_^\infty (-1)^n \frac } eşitliği sağlanır.

Euler dönüşümü

\,_2F_1 hipergeometrik dizisine sıklıkla uygulanmkatadır. Bu durumda

Euler dönüşümü

:\,_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^ \,_2F_1 \left(c-a, b; c;\frac\right) olarak ifade edilebilmektedir. Binom dönüşümü ve bunun farklı bir uyarlaması olan

Euler dönüşümü

bir sayının sürekli kesir olarak ifade edilmesinde büyük önem taşımaktadır. 0 < x < 1 sayısının sürekli kesir ifadesinin :x= a_2, a_3,\cdots olduğu varsayılsın. Buradan :\frac= a_2, a_3,\cdots ve :\frac= a_2, a_3,\cdots sonuçlarına ulaşılabilmektedir. Üstel üretici işlev

Üstel üretici işlev

 için :\overline(x)= \sum_^\infty a_n \frac ve :\overline(x)= \sum_^\infty s_n \frac eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. Buradan :\overline(x) = (T\overline)(x) = e^x \overline(-x) eşitliğine ulaşılır. Borel dönüşümü, olağan üretici işlevi üstel üretici işleve dönüştürebilmektedir. İntegral biçimindeki ifadesi Dizi bir karmaşık çözümleme işleviyle değiştirildiğinde dizinin binom dönüşümü Nörlund-Rice integrali biçiminde ifade edilebilmektedir. Genellemeler Prodinger birimsel benzeri bir dönüşümden söz etmektedir. :u_n = \sum_^n a^k (-c)^ b_k eşitliğinin sağlandığı varsayıldığında :U(x) = \frac B\left(\frac\right) ifadesine ulaşılır. Burada U ve B sırasıyla \ ve \ dizileriyle ilişkilendirilmiş olağan üretici işlevleri göstermektedir. Artan k-binom dönüşümü zaman zaman :\sum_^n j^k a_j biçiminde, azalan k-binom dönüşümü :\sum_^n j^ a_j biçiminde tanımlanmaktadır. Her iki dönüşüm de bir dizinin Hankel dönüşümü özüne eşittir. Binom dönüşümü :\sum_^n(-1)^\binoma_i=b_n olarak tanımlanır, bu ifade \mathfrak J(a)_n=b_n işlevine eşitlenir, yeni bir ileri fark tablosu oluşturulur ve bu tablonun her satırının ilk elemanından \ gibi yeni bir dizi oluşturulursa özgün dizinin ikinci binom dönüşümü :\mathfrak J^2(a)_n=\sum_^n(-2)^\binoma_i ifadesine eşit olur. Aynı işlem k kez yinelendiğinde :\mathfrak J^k(a)_n=b_n=\sum_^n(-k)^\binoma_i eşitliğine ulaşılır. Bu ifadenin tersi :\mathfrak J^(b)_n=a_n=\sum_^nk^\binomb_i olarak yazılır. Bu ifadenin genel biçimi :\mathfrak J^k(a)_n=b_n=(\mathbf E-k)^na_0 olarak yazılabilir. Burada \mathbf E değişim işlecini göstermektedir. Bu ifadenin tersi :\mathfrak J^(b)_n=a_n=(\mathbf E+k)^nb_0 biçiminde gösterilir. Ayrıca bakınız * Newton dizisi * Hankel matrisi * Möbius dönüşümü * Stirling dönüşümü * Euler toplamı * * John H. Conway & Richard K. Guy, 1996, The Book of Numbers * Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming Cilt 3, (1973) Addison-Wesley, Reading, MA. * Helmut Prodinger, 1992, Some information about the Binomial transform * Michael Z. Spivey & Laura L. Steil, 2006, The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform * Borisov B. & Shkodrov V., 2007, Divergent Series in the Generalized Binomial Transform, Adv. Stud. Cont. Math., 14 (1): 77-82 Dış bağlantılar * Binom Dönüşümü

Kaynaklar

Vikipedi

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.