Delta Metodu

Kısaca: Delta Metodu istatistikte, bir asimtotik normal istatistiki tahmin edicinin fonksiyonu için bu tahmin edicinin sınırlayıcı varyans bilgisi kullanılarak yaklaşık bir olasılık dağılımı türetme metodudur. Delta metodu merkezi limit teoreminin genelleştirilmiş hali olarak ele alınabilir. ...devamı ☟

Delta Metodu istatistikte, bir asimtotik normal istatistiki tahmin edicinin fonksiyonu için bu tahmin edicinin sınırlayıcı varyans bilgisi kullanılarak yaklaşık bir olasılık dağılımı türetme metodudur. Delta metodu merkezi limit teoreminin genelleştirilmiş hali olarak ele alınabilir. Tek Değişkenli Delta Metodu Xn dağılımda :[1]\,\xrightarrow\,N(0,\sigma^2)}, koşulunu sağlayan rassal değişkenler dizisi olsun. ( Burada \theta ve \sigma^2 sonlu değere sahip sabitleri ve \xrightarrow dağılımda yakınsamayı temsil etmektedir.) Veri bir g fonksiyonu ve belli bir \theta değeri için g'(\theta)'nın var olduğunu ve sıfıra eşit olmadığını varsayalım. O halde dağılımda, :[2]\,\xrightarrow\,N(0,\sigma^2[3]^2)} olur. Tek Değişkenli Durumda Kanıt g'(\theta) süreklidir varsayımı altında kanıtı gerçekleştirmek oldukça kolaydır. Öncelikle ortalama değer kuramı kullanılarak başlanır; :g(X_n)=g(\theta)+g'(\tilde)(X_n-\theta), Burada \tilde, X_n ve \theta arasında bir değer almaktadır. X_n\,\xrightarrow\,\theta, \tilde \,\xrightarrow\,\theta'yı ima ettiğinden ve g'(\theta) sürekli olduğundan Slutsky Teoremi'nin uygulanması sonucunda :g'(\tilde)\,\xrightarrow\,g'(\theta), elde edilir ki burada \xrightarrow olasılıkta yakınsamayı ifade etmektedir. İfadeleri düzenler ve \sqrt ile çarparsak :\sqrt[4]=g'(\tilde)\sqrt[5]. ifadesini elde ederiz. Varsayım gereği, :[6] \xrightarrow N(0,\sigma^2)} olduğundan Slutsky Teoreminden :[7] \xrightarrow N(0,\sigma^2[8]^2)}. elde edilir ve kanıt tamamlanır. Çok Değişkenli Delta Metodu Tanım gereği, istatistikte tutarlı tahmin edici B gerçek değeri olan \beta'ya yakınsar ve genelde asimtotik normalite elde etmek için merkezi limit teoremi uygulanabilir. : \sqrt\left(B-\beta\right)\,\xrightarrow\,N\left(0, \Sigma \right), burada n gözlem sayısını ve \Sigma (simetrik pozitif yarı belirli) kovaryans matrisini ifade etmektedir. B tahmin edicisinin h fonksiyonuna ait varyansını tahmin etmek istediğimizi varsayalım. Taylor serisinin ilk iki terimini ele alır ve gradyan için vektör notasyonu kullanırsak, h(B)'yi : h(B) \approx h(\beta) + \nabla h(\beta)^T \cdot (B-\beta) olarak tahmin edebiliriz ki bu h(B)'nin varyansının yaklaşık olarak, : \begin \operatorname\left(h(B)\right) & \approx \operatorname\left(h(\beta) + \nabla h(\beta)^T \cdot (B-\beta)\right) \\ & = \operatorname\left(h(\beta) + \nabla h(\beta)^T \cdot B - \nabla h(\beta)^T \cdot \beta\right) \\ & = \operatorname\left(\nabla h(\beta)^T \cdot B\right) \\ & = \nabla h(\beta)^T \cdot Var(B) \cdot \nabla h(\beta) \\ & = \nabla h(\beta)^T \cdot (\Sigma/n) \cdot \nabla h(\beta) \end olduğunu ima eder. (Çok değişkenli reel değerli fonksiyonlar için) Ortalama limit teoremi kullanılarak bunun birinci derece yakınlaştırmaya dayanmadığı görülebilir. Dolayısıyla Delta metodu, : \sqrt\left(h(B)-h(\beta)\right)\,\xrightarrow\,N\left(0, \nabla h(\beta)^T \cdot \Sigma \cdot \nabla h(\beta) \right) veya tek değişken ifadesiyle, : \sqrt\left(h(B)-h(\beta)\right)\,\xrightarrow\,N\left(0, \sigma^2 \cdot \left(h^\prime(\beta)\right)^2 \right). olduğunu ima eder. Örnek X_n 'in p ve n parametreleri ile binom dağılıma sahip olduğunu varsayalım. : \left \frac-p \right\,\xrightarrow\,N(0,p (1-p))}, olduğundan, g(\theta) = \log(\theta) ile delta metodunu uygulayabilir ve : \left \log\left( \frac\right)-\log(p)\right \,\xrightarrow\,N(0,p (1-p) [9]^2)} olduğunu görebiliriz. Dolayısıyla, \log \left( \frac \right) 'in varyansı yaklaşık olarak : \frac. \,\! şeklindedir. Dahası, eğer \hat p ve \hat q sırasıyla n ve m büyüklüklerinde bağımsız örneklemlerden elde edilen farklı grup oranı tahminleriyse, tahmini göreli risk \frac 'nın logaritması yaklaşık olarak \frac+\frac ile tahmin edilebilecek varyansa sahip normal dağılıma sahiptir. Bu göreli risk için hipotez testi kurmak veya güven aralığı oluşturmak için faydalıdır. Not Delta metodu genellikle Xn veya B'nin asimtotik olarak normal olarak dağıldığı varsayımı hariç yukarıdaki ile benzer biçimde kullanılmaktadır. Genelde tek şart varyansın küçük olduğudur. Bu durumda sonuçlar sadece dönüştürülmüş büyüklükler için ortalama ve kovaryanslar için yaklaştırımlar verir. Örneğin, Klein (1953, p.258)'da sunulan formüller şu şekildedir; : \begin \operatorname \left( h_r \right) = & \sum_i \left( \frac \right)^2 \operatorname\left( B_i \right) + \\ & \sum_i \sum_ \left( \frac \right) \left( \frac \right) \operatorname\left( B_i, B_j \right) \\ \operatorname\left( h_r, h_s \right) = & \sum_i \left( \frac \right) \left( \frac \right) \operatorname\left( B_i \right) + \\ & \sum_i \sum_ \left( \frac \right) \left( \frac \right) \operatorname\left( B_i, B_j \right) \end burada hr, h(B)'nin r'inci elemanı ve Bi, 'nin i'inci elemanıdır. Tek fark Klein'ın bunları aslında yaklaştırımlar olmasına rağmen özdeşlikler olarak ifade etmesidir. Ayrıca bakınız * Taylor açılımı * Slutsky teoremi Kaynaklar * Casella, G. and Berger, R. L. (2002), Statistical Inference, 2nd ed. * Davison, A. C. (2003), Statistical Models, pp.33–35. * Greene, W. H. (2003), Econometric Analysis, 5th ed., pp.913f. * Klein, L. R. (1953), A Textbook of Econometrics, p.258. * Oehlert, G. W. (1992), A

Not

e on the Delta Method, The American Statistician, Vol. 46, No. 1, p.27-29. * Ders

Not

ları (İngilizce)
* Ders

Not

ları (İngilizce)
* Stata Programı Websitesinden Tanım (İngilizce)

Kaynaklar

Vikipedi

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.

Sayısal Analiz
4 ay önce

kullanılabilir. Kök bulma algoritmaları için ise ikiye bölme metodu, Newton metodu, kiriş yöntemi ve Müller metodu örnek verilebilir. Özellikle doğrusal denklem sistemlerinin...

Devre analizi
4 ay önce

devreye uygulanan belirli bir giriş işaretine veya fonksiyonuna (örn: dirak delta fonksiyonu, rampa fonksiyonu, zorlama fonksiyonu vs.) karşılık verdiği çıkış...

Devre analizi, Akım, Diyot, Elektrik, Elektronik, Fonksiyon, Gerilim, Kirchoff Kanunları, Matematik, Maxwell Denklemleri, Norton Teoremi
Asal çarpanlara ayırma
4 ay önce

(fakat çok yakın değil, çünkü böyle sayılar için Fermat'ın çarpanlara ayırma metodu kullanılabilir) olacak şekilde seçildiği takdirde, en hızlı çarpanlara ayırma...

Optimizasyon
4 ay önce

Tekyönlü metot Elipsoid metot Yığın metodu Newton metodu Kazi-Newton metodu Dahili nokta metodu Birleşik gradyan metodu Hat araması - tek boyulu optimizasyon...

Optimizasyon, Küme, Matematik, Taslak
Poisson denklemi
4 ay önce

isimlendirilmiştir. Poisson denklemi Δ φ = f {\displaystyle \Delta \varphi =f} Burada Δ {\displaystyle \Delta } Laplasyene, ve f ve φ ise Çokkatlıda gerçek veya...

Kapasite (elektrik)
4 ay önce

C}\equiv {\Delta \,V \over \Delta \,Q}} , Potansiyel farkla birlikte Δ V = Δ μ e = μ ( N + Δ N ) − μ ( N ) e {\displaystyle \Delta \,V={\Delta \,\mu \,...

Kapasite (elektrik), Coulomb yasası, Direnç (elektrik), Elektrik, Elektrik akımı, Elektriksel alan, Elektriksel gerilim, Elektriksel iletkenlik, Elektriksel yük, Elektromanyetizm, Elektromıknatıssal ışınım
Dalyan Gölü, Bursa
3 yıl önce

Dalyan Gölü, Kocaçay Delta'sında bulunan göllerden birisidir. Kocaçay'ın Marmara Denizi'ne döküldüğü alanın batısında yer alır. Dalyan gölü denizden bir...

Elektrokimya
4 ay önce

çözeltilerdeki elektrokimyasal reaksiyonlar, redoks reaksiyonlarının iyon-elektron metodu kullanılarak dengelenmesiyle daha iyi anlaşılabilir. Bu metotta, H+, OH-...