--}}

Eukleides

Ptolemaioslar, İskenderiye'yi bir kültür merkezi haline getirmek için Müze'ye birçok bilim adamı davet etmişlerdi ve buraya gelenlerden birisi de Eukleides'di. M.Ö. 300 yıllarında yaşamış olan Eukleides hakkında bilinenler çok azdır. Şimdi Lübnan'da bulunan, eski sahil kenti Sur'da doğduğu ve meşhur Elementler adlı geometri kitabını kırk yaşlarında iken yazdığı söylenmektedir.

Ptolemaioslar, İskenderiye'yi bir kültür merkezi haline getirmek için Müze'ye birçok bilim adamı davet etmişlerdi ve buraya gelenlerden birisi de Eukleides'di. M.Ö. 300 yıllarında yaşamış olan Eukleides hakkında bilinenler çok azdır. Şimdi Lübnan'da bulunan, eski sahil kenti Sur'da doğduğu ve meşhur Elementler adlı geometri kitabını kırk yaşlarında iken yazdığı söylenmektedir. Gençliğinde Atina'da, Platon'un Akademi'sinde eğitim görmüş, astronomi, aritmetik, geometri ve müzik konularına buradayken ilgi duymaya başlamıştır. Eukleides hakkında anlatılan öykülerden birisi, Yunanlıların bilime bakış açılarını yansıtması bakımından oldukça önemlidir: Geometri öğrenmeye yeni başlayan bir öğrenci, bir gün bu konuları öğrendiğinde ne kazanacağını sormuş ve bunun üzerine Eukleides öğrenciye bir miktar para uzatarak, "Sana bu parayı vermemin nedeni, öğrendiğin şeylerden bir kazanç elde etmeyi ummandır" demiştir.

Eukleides'in Elementler'i (Stoichia), 13 Kitap'tan oluşuyordu ve sırasıyla şu konuları içeriyordu: I. Kitap: Benzerlik (üçgenlerin benzerliği, pergel ve cetvelle çizilen basit geometrik şekiller, bir üçgenin açılarına ve kenarlarına ilişkin eşitsizlikler), paraleller (paralel doğruların özellikleri ve paralelkenarlar), Pythagoras teoremi. II. Kitap: Geometrik cebir *(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 gibi bugün cebirsel olarak ele alınan, ama o zamanlar geometrik olarak düşünülen özdeşlikler*, alanlar. III. Kitap: Daire ve açı ölçümleri. IV. Kitap: Daire içine ve dışına çokgenlerin çizimi. V. Kitap: Geometrik olarak incelenen orantı (şeylerin büyüklükleri ve miktarları arasındaki ilişki), kesirli cebirsel denklemlerin geometrik çözümü. VI. Kitap: Çokgenlerin benzerliği. VII. ve IX. Kitaplar: Aritmetik (sayılar teorisi geometrik olarak incelenmiştir). X. Kitap : Orantısızlık. XI., XII. ve XIII. Kitaplar: Uzay geometrisi (üç boyutlu cisimler, örneğin beş düzgün yüzlü cisimin özellikleri incelenmiştir).

Elementler'e sonradan iki kitap daha eklenmiştir ve bunları Eukleides'in yazmadığı tahmin edilmektedir. XIV. Kitap'ta bir küre içine çizilen düzgün üç boyutluların mukayesesi yapılmıştır ve bu kitabın Hypsicles (MÖ. 2. yüzyılın ikinci yarısı) tarafından Apollonius'dan etkilenerek yazıldığı sanılmaktadır. XV. Kitap'ta ise düzgün üç boyutluların birbiri içine nasıl çizileceği ve açı ve kenar hesaplarının nasıl yapılacağı incelenmiştir. Bu kitabın Miletli Isidore (532) tarafından yazıldığı düşünülmektedir.

İskenderiye'de yazılmış olan Elementler'in içeriğinden çok, kapsamış olduğu konuların sunuluş biçimi önemlidir; önce bir takım tanımlar, aksiyomlar ve postülalar verilmiş ve teoremler, bunlara dayanarak kanıtlanmıştır. Böylece geometri, belirli tanım ve ilkeler çerçevesinde yapılandırılmış olmaktadır.

Elementler'de nokta, çizgi, yüzey ve cisim gibi geometrik kavramlar tanımlandıktan sonra, aksiyomlara geçilmiştir. Aksiyom, doğruluğu açık ve seçik olan önerme demektir. Eukleides'in aksiyomları şunlardır:

1. Aynı şeye eşit olan şeyler birbirlerine de eşittirler. 2. Eşit miktarlara eşit miktarlar eklenirse, eşitlik bozulmaz. 3. Eşit miktarlardan eşit miktarlar çıkartılırsa, eşitlik bozulmaz. 4. Birbirine çakışan şeyler birbirine eşittir. 5. Bütün parçadan büyüktür.

Aksiyomlardan sonra da postülalar verilmiştir. Postüla, ispat edilmeksizin doğru olarak benimsenen önerme demektir. Eukleides'in postülaları ise şunlardır:

1. İki nokta arasını birleştiren en kısa yol bir doğrudur. 2. Bir doğru, doğru olarak sonsuza kadar uzatılabilir. 3. Bir noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri bir çemberdir . 4. Bütün dik açılar birbirine eşittir. 5. İki doğru bir üçüncü doğru tarafından kesilirse, içte meydana gelen açıların toplamının 180 dereceden küçük olduğu yönde bu iki doğru kesişir.

Bu önermelerden, uzayla ilgili olduğu halde, Eukleides'in açıkça belirtmediği üç önerme daha çıkarılabilir : 1. Uzay üç boyutludur. 2. Uzay sonsuzdur. 3. Uzay homojendir.

Uzun süre postüla olarak adlandırılan önermelerin yapıları tam olarak anlaşılamamış ve Eukleides'in paraleller postülası adıyla tanınan beşinci postülası matematikçiler tarafından sanki bir teoremmiş gibi kanıtlanmaya çalışılmıştır. Bazı matematikçiler ise, bu postülayı daha kullanışlı başka bir postüla ile değiştirmek istemişlerdir. Paraleller postülası yerine konulan en tanınmış postülalar şunlardır:

1. Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir. 2. Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnızca bir tek paralel çizilebilir.

Eukleides beşinci postülanın gerekli olduğunu görmüş ve sezgisel olarak en yalın biçimini seçmişti; bu da onun dehasının göstergelerinden yalnızca bir tanesidir.

19. yüzyılda paraleller postülası değiştirilerek Eukleides dışı geometriler kuruldu. Nicolai Lobatchevski (1792-1856), "Bir doğruya, dışındaki bir noktadan pek çok paralel çizilebilir veya bir üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden küçüktür." önermelerini ve Bernhard Riemann (1826-1866) ise "Bir doğruya dışındaki bir noktadan paralel çizilemez veya bir üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden büyüktür." önermelerini, beşinci postülanın yerine geçirerek, Eukleides dışı geometrilere ulaştılar. Felix Klein (1847-1925) bu geometrilerin birbirleriyle olan ilişkilerini gösterdi. Ona göre, Eukleides geometrisi sıfır eğimli bir yüzeye işaret eder ve pozitif eğimli bir yüzey (örneğin küre-dışı) üzerindeki Riemann geometrisi ile negatif eğimli bir yüzey (örneğin küre-içi) üzerindeki Lobatchevski geometrisi arasında yer alır; yani, parabolik geometri olan Eukleides geometrisi, elliptik geometri (Riemann) ile hiperbolik geometrinin (Lobatchevski) limitidir.

Birden fazla geometrinin ortaya çıkması, akla bunlardan hangisinin doğru (!) olduğu sorusunu getirebilir. Böyle bir soru anlamsızdır; çünkü teoremlerin doğruluğu, dayandıkları postülalara bağlıdır. Hangi geometri incelediğimiz konuya uygunsa, o geometriyi kullanırız. Şu halde, "Hangi geometri doğrudur?" sorusu yerine, "Hangi geometri yararlıdır?" sorusunun sorulması daha yerinde olacaktır. Üzerinde yaşadığımız Dünya'da, yani orta ölçekli boyutlarda Eukleides geometrisi geçerlidir, ama Einstein, görelilik kuramını oluştururken, doğal olarak Riemann geometrisini kullanmıştır.

İlgili konuları ara


Görüşler

Bu konuda henüz görüş yazılmamış.
Gürüş/yorum alanı gerekli.
Markdown kodları kullanılabilir.

Eukleides
Eukleides