Bessel–Clifford Fonksiyonu

Bessel–Clifford fonksiyonu, Friedrich Bessel ve William Kingdon Clifford anısına atfetdilen iki kompleks değişken'li bir Tam fonksiyondur. Bu teori

Bessel fonksiyonu

na alternatif bir gelişme temin etmek için kullanılabilir. :

\pi(x) = \frac = \frac

ise ters Gama fonksiyonu vasıtası ile tam fonksiyonu ile tanımlanabilir,daha sonra Bessel-Clifford fonksiyon serisi tanımlandı :

_n(z) = \sum_^\infty \pi(k+n) \frac

z/k (n+k),ardışık terimlerin oranı z nin tüm değerleri için ve artan k ilen sıfıra gitme eğilimindedir. oran testi ile bu seri tüm z ve n için kesinlikle yakınsaktır, düzgün |z|'nin sınırlı olan tüm bölgeleri için düzgündür ve bunun sonucu olarak Bessel–Clifford fonksiyonu iki karmaşık değişkenn ve z bir tam fonksiyondur . Bessel-Clifford fonksiyonunun diferansiyel denklemi yukarıdaki seriden sırasıyla x ve

_n(x)

diferansiyeli aşağıdaki doğrusal ikinci derece homojen diferansiyel denklem'ini karşılar. :

xy

+ (n+1)y' = y. \qquad Bu denklem, genelleştirilmiş hipergeometrik tip olup aslında Bessel-Clifford fonksiyonu Pochhammer–Barnes hipergeometrik fonksiyonu'nun bir ölçeklendirme faktörü kadardır; : $_n(z) = \pi(n)\ _0F_1(;n+1; z).$ n negatif olmadığı sürece,bu durumda sağ taraftaki tanımsızdır, İki tanım esasen eşittir; böylece z = 0 değerinde normalize edilen hipergeometrik fonksiyonu tektir. Bessel fonksiyonları ile ilişkisi Bessel-Clifford fonksiyonu birinci tür
Bessel fonksiyonu
açısından tanımlanabilir. : $J_n(z) = \left(\frac\right)^n _n\left(-\frac\right);$ Eğer n tamsayı değilse biz
Bessel fonksiyonu
nun tam olmadığından sözedebiliriz. Benzer biçimde, birinci tür modifiye
Bessel fonksiyonu
ndada tanımlanabilir. : $I_n(z) = \left(\frac\right)^n _n\left(\frac\right).$ prosedür tabii ki tersine çevrilebilir,böylece Bessel-Clifford fonksiyonu tanımlanabilir, : $_n(z) = z^ I_n(2 \sqrt);$ Birinci tür Bessel-Clifford fonksiyonu açısından tanımlanabilir; : tam idi. Bessel fonksiyonu Hemen bu takiple tanımlanan seriden $\frac_n(x) = _(x).$ 'yi yerine kullanarak diferansiyel denklemi düzeltip yazmak istersek : $x _(x) + (n+1)_(x) = _n(x),$ bu formül için Bessel-Clifford fonksiyonu için tekrarlama ilişkisini tanımlar,sub>0F₁ için bu eşitlikteki benzer bir ilişkidir.Gauss sürekli kesri'nin özel bir durumudur. : $\frac}}.$ Bu sürekli kesrin her durumda yakınsak olduğu gösterilebilir. İkinci türden Bessel-Clifford fonksiyonu : $xy$ + (n+1)y' = y \qquad İki lineer bağımsız çözümü vardır,diferansiyel denklemin bir düzgün tekil noktası orijindedir, ve

tam olduğundan,İkinci çözüm başlangıç noktasında tekil olmalıdır. Bizim yapı :

_n(x) = \frac \int_0^\infty \exp\left(-t-\frac\right) \frac}

\Re(x) > 0

için yakınsak,ve analitik devamlıdır,bu diferansiyel denklem için ikinci bir lineer bağımsız çözüm elde edilebilir..

ifadesine 1/2 faktorü eklenerek yerleştirilir,ikinci türden Bessel fonksiyonlarına karşılık gelir. Elimizde olan :

K_n(x) = \left(\frac\right)^n _n\left(\frac\right).

ve :

Y_n(x) = \left(\frac\right)^n _n\left(-\frac\right).

terimler içinde K da var; :

_n(x) = x^ K_n(2 \sqrt).

Bu nedenle tıpkı birinci tür

Bessel fonksiyonu

heriki cinsindende ifade edilebilir ve modifiye

Bessel fonksiyonu

heriki cinsindende ifade edilebilir. Üreteç fonksiyonu exp(t) için mutlak yakınsak seri ile çarparsak ve exp(z/t) birlikte,(eğer t sıfır değilse) mutlak yakınsak seri ile exp(t+z/t)serisini alırsak, t ortak termdir,

_n

için Biz kuvvet serileri tanımı ile karşılaştırma bulabiliriz. Şu var :

\exp\left(t + \frac\right) = \sum_^\infty t^n _n(z).

Bu üreteç fonksiyonu sonra daha fazla formülleri elde etmek için kullanılabilir,özellikle de kullandığımız Cauchy integral formülü ve tamsayı n için

_n

olarak elde edilir. :

_n(z) = \frac \oint_C \frac}\, dt = \frac\int_0^ \exp(z(1+\exp(-i\theta))-ni\theta))\,d\theta.

Kaynaklar

*. *. *. * |journal=Annali di Matematica Pura ed Applicata |volume=2 |issue=I |year=1868 |pages=232–242 }}. *. *.

Kaynaklar

Vikipedi

Bessel–Clifford Fonksiyonu