Sayı Sistemlerinin Yada Sayıların Tarihi

Sayı ve biçime ilişkin kavramlarla tanışmamız Yontma Taş Devri'ne kadar uzanır. Yüzbinlerce yıl boyunca insanlar, hayvanların yaşadığı koşullardan pek farklı olmayan bir biçimde mağaralarda yaşadılar. Enerjilerinin çoğunu nerede yiyecek bulurlarsa onu toplamaya harcıyorlardı. Avlanmak ve balık tutmak için silahları, birbirleriyle anlaşmak için konuşma dilini geliştirdiler. Yontma Taş Devri'nin sonlarına doğru da yaratıcı sanatlarla heykelcikler ve resimler yaparak yaşamlarını renklendirdiler. Fransa ve İspanya'daki yaklaşık 15.000 yıl öncesinin mağara duvar resimlerininayinsel bir anlamı olabilir, ama bunun ötesinde de üstün bir biçim anlayışı gösteriyorlardı. Maden Devrinde ise bunun aksine ticaret öylesine gelişmişti ki, yüzlerce mil uzaklıktaki köyler arasındaki ilişkilerin izleri fark edilebiliyordu. Önce bakırın daha sonra da tuncun eritilmesiyle bu metallerden araçlar ve silahlar yapıldı. Bu da ticaretin ve yeni dillerin daha da gelişmesine yol açtı. Bu dillerdeki nesnelerin çoğunlukla somut; yani elle tutulur ve gözle görülür nesneleri belirtmesine ve az sayıda olmasına karşın bazı sayısal terimler ortaya çıktı. Benim düşüncelerime göre matematiğin ilk kez ortaya çıktığı çağ Maden Çağıdır. Ünlü bir matematikçi olan Adam Smith'in"insan aklının ürünü en soyut düşünceler" olarak tanımladığı sayısal terimlerin kullanılmaya başlanması çok yavaş oldu. Bunlar ilk ortaya çıktıklarında bir cismin sayısını değil niteliğini gösteriyordu. Örneğin;"bir insan" değil sadece"insan" kavramını gösteriyordu. Sayısal kavramların bu niteliksel kökenlerinin izleri hala Yunanca ve Keltçe gibi bazı dillerdeki ikili terimlerde görülebilir. Sayı kavramı geliştikçe toplama yoluyla daha büyük sayılar oluşturuldu: 2 ile 1 toplanarak 3, 2 ile 2 toplanarak 4, 2 ile 3 toplanarak 5 bulundu. İşte bazı Avustralya kabilelerinden örnek: Murray Nehri: 1 = enea, 2 = petcheval, 3 = petcheval-enea, 4 = petcheval - petcheval Kamilaraoi: 1 = ma, 2 = bulan, 3 = guliba, 4 = bulan bulan, 5 = bulan guliba, 6 = guliba guliba Zanaatlerin ve ticaretin gelişmesi sayı kavramının netleşmesine yardım etti. Sayılar, ticaret yaparken doğal bir yöntem olan bir ya da iki elin parmakları kullanılarak daha büyük birimlerin içinde gösterildi. Buna örnek olarak şimdiki okullarda okuyan küçük sınıflarda ki çocukların sayma yöntemini verebilirim. Bu olayın sonucunda önce 5 sonra 10 tabanlı sayı sistemleri oluşturulup, bunlar toplama ve bazen çıkarma ile tamamlandı. Böylece 12, 10 + 2 olarak ya da 9,10-1 olarak algılandı. Bazen de taban olarak el ve ayak parmaklarının toplam sayısı olan 20 kullanıldı. Yapılan araştırmalara göre Amerikan yerlilerinin kullandığı 307 sayı siteminden 146'sı onluk, 106'sı onluk, onikilik ve yirmilik sayı sistemlerinin karışımıydı. Çoğu kişi tarafından yamyam olarak bilinen Amerikan yerlilerinin bu kadar çok sayı sisteminin olması önce bana biraz garip geldi. Fakat sonra, onların da en az bizim kadar zeki olduklarını anladım. Yirmili sayı sisteminin en tipik biçmi Meksika'da Mayalar ve Avrupa'da Keltler tarafından kullanıldı. Sayılar kümelere ayrılarak, tahtanın üstüne çentik, ipin üstüne düğüm atılarak ya da deniz kabuklarının beşli yığınlar biçiminde düzenlenmesiyle sayısal kayıtlar tutuldu. Bu yöntemler eski zaman hancılarının çetele tutma yöntemlerine benziyordu. Böyle yöntemlerden 5, 10, 20 gibi özel simgelere geçilmesi çok kolay oldu. Benzer simgeler uygarlığın doğuşu da denen yazılı tarihin başlangıcından beri kullanılmıştır. Yontama Taş Devri'ne kadar uzanan en eski çetele çubuğu 1937'de Vestonica'da bulunmuştur. Bu; genç bir kurdun 7 inç uzunluğundaki ön kol kemiğiydi ve üzerinde ilk 25'i beşli gruplar halinde düzenlenmiş 55 çentik bulunmaktaydı. Dizinin sonunda, önceki çentiklerden iki kat uzun bir çentik vardı. Yeni dizinin başındaki çentik yine 2 kat uzundu ve bunu 30 çentikten oluşan bir dizi izliyordu. Böylece, sık sık söylenen"eski zamanlarda sayma parmaklara dayalıydı." görüşü geçerliliğini kaybetmiş oldu. Yazı olmamasına rağmen Yontma Taş Devrin'deki insanların çetele çubuklarını duymak ilginç gelebilir. Fakat gerçek. Parmaklar kullanılarak sayı saymak yani 5'erli 10'arlı saymak ancak toplumsal gelişimin belirli bir aşamasında ortaya çıkar. Bu aşamadan sonra sayılar bir tabana göre ifade edildi ve bu da büyük sayıların ortaya çıkmasına yardım etti. Böylece ilkel bir aritmetik ortaya çıktı. 14 bazen 10+4, bazen de 15-1 olarak gösteriliyordu. 20'nin 10+10 değil de 2'10 olarak gösterilmesiyle çarpma başladı. Bölme, 10'un"vücudun yarısı" olarak gösterilmesiyle başladı, ama kesirlerin bilinçli bir şekilde oluşturulması hala çok enderdi. Kuzey Amerika'da kabilelerin ancak birkaçında böyle kesirler biliniyordu, çoğu durumda bu ½'ydi. Bazen 1/3 ya da ¼'de kullanılıyordu. Bir başka ilginç durum çok büyük sayılara duyulan ilgidir. Bu belki de tümüyle insana ait bir tutku olan sürünün büyüklüğü ya da öldürülen düşmanların çokluğunu abartma isteğinin sonucudur. Bu eğilimin kalıntıları İncil'de ve diğer kutsal metinlerde de ortaya çıkar.

Tarih Öncesi Çağlarda Geometri

Cisimlerin uzunluklarını ve içindekileri ölçmek gerekince, genelde insan vücudunun bölümleri kullanılarak; parmak, ayak, karış gibi basit ölçüler kullanıldı. Arşın, kulaç adları bize bu geleneği hatırlatır. Ev yaparken Hint köylüleri de, Orta Avrupa'da kutup evi yapanlar da yapıları düz çizgiler boyunca ve yere göre dik açıyla yapmak için kurallar geliştirdiler. Örneğin;"Düz sözcüğü"germek" sözcüğü ile ilgilidir ve iple yapılan işlemleri gösterir."Doğru" ve"Keten kumaş" sözcükleri, dokumacılık ile geometrinin başlangıcı arasındaki bağlantıyı gösterir. Dokumacılık ölçmeye ilişkin ilginin başlama yollarından biriydi. Cilalı Taş Devri insanı geometrik desenlere büyük bir ilgi duyuyordu. Çömleklerin pişirilmesi ve boyanması, sazların örülmesi, sepet yapımı ve kumaş dokumacılığı, daha sonra da metallerin işlenmesi, düzlemsel ve alansal ilişkilerin kavranmasını geliştirdi. Dans figürleri de bunda rol oynamış olmalı ki Cilalıtaş Devri'nde yapılan süslemelerde benzerlik ve simetri görülür; eş şekiller kullanılırdı. Bazı tarih öncesi desenler de üçgensel sayılar, bazılarında ise"kutsal" sayılar yer alıyordu. Pisagor matematiğinde önemli rol oynayan üçgensel sayıların oluşturulma çabaları yansımaktadır. Bu tür desenler tarih boyunca yaygın olarak kullanılmıştır. Bunların çok güzel örneklerine Girit'teki Minos ve erken dönem Yunan vazolarında, daha sonra Bizans ve Arap moziklerinde, Pers ve Çin duvar halılarında rastlanır. Bu ilk desenlerin dinsel ya da büyüsel bir anlamı olabilir, ama zamanla görsel çekicilikleri ön plana çıkmıştır. Taş Devri dinlerinde, doğa güçlerine egemen olma çabasının ilkel bir biçimini fark edebiliriz. Dinsel törenler büyü ile iç içeydi. Büyü öğesi de o zamanlar var olan sayı ve biçime ilişkin kavramlarda, heykel, müzik ve resimlerde içeriliyordu. 3,4,7 gibi sihirli sayılar, Pentalpha ve Swastika gibi sihirli biçimler vardı. Matematiğin toplumsal kökenleri modern zamanlarda silikleşmişse de insanlık tarihinin ilk dönemlerinde bu kökler açıkça görülebilmektedir ve bazı yazarlar, matematiğin bu yönünün onun gelişiminde belirleyici olduğu görüşündedir."Modern" sayı bilimi, Cilalı hatta belki de Yontma Taş Devri'nin büyü törenlerinin mirasıdır.

Zaman Kavramı

En ilkel kabilelerde bile bir"zaman" kavramına rastlanır ve bunun sonucu olarak da Güneş Ay ve yıldızların hareketleriyle ilgili bazı bilgileri edinmişlerdi. Bu bilgiler, çiftçilik ve ticaret geliştikçe daha bilimsel bir nitelik kazanmaya başladı. Bitkilerdeki değişimlerin Ay'daki değişimlerle ilişkilendirildiği Ay takviminin kullanılması, insanlık tarihinin çok erken dönemlerine kadar uzanır. İlkel insanlar gündönümünü ya da şafakta yedi yıldızlı Süreyya burcunun yükselişini ilgiyle izliyordu. İlk uygarlıkları kuran insanların astronomi bilgilerinin kökeni tarih öncesi dönemlerden gelen bilgilere dayanıyordu. İlk insanlar, takım yıldızlarından denizcilikte yararlandılar. Astronomiye ilişkin bu gözlemlerinin sonunda kürenin, dairenin ve açısal yönlerin özellikleri hakkında bilgi edinildi. Matematiğin başlangıcına ilişkin bu birkaç örnek bir bilimin tarihsel gelişiminin, şimdi bu alandaki öğretimde geliştirdiğimiz aşamalarla çakışmayabileceğini göstermektedir. İnsanlarca bilinen en eski geometrik biçimler olan düğümlere ve desenlere ancak son yıllarda bilimsel bir ilgi gösterilmiştir. Öte yandan, grafikle gösterim ya da istatistik gibi matematiğin temel dallarının başlangıcı modern zamanlardadır. Bir matematikçi olan A. Speiser bu konuda şöyle düşünmektedir: "Matematiğe girişin doğasında var olan sıkıcılığın ön plana çıkma eğiliminin geç başlangıcının sonucu olduğu söylenebilir; çünkü yaratıcı bir matematikçi ilgi çekici ve güzel problemlerle uğraşmayı yeğler."

Eski Uygarlıklarda Matematik

Doğu Matematiği

Doğu matematiği uygulamalı bilim kökenliydi. Takvimin hesaplanması, tarımsal üretim ve bayındırlıkla ilgili işlerin örgütlenmesi, vergilerin toplanması uygulamalı aritmetik ve ölçme sorunlarına öncelikle ağırlık verilmesini gerektirdi. Bununla birlikte, yüzyıllar boyunca özel bir zanaat olarak gelişen bilim yalnızca uygulamaya yönelik değildi; sırlar öğretilirken, soyutlamaya yönelik eğilimler de ortaya çıktı. Aritmetiğin cebire dönüşmesi yalnızca daha pratik hesaplamalar sağladığı için olmadı; bu, aynı zamanda yazıcı okullarında öğretilen bir bilimin doğal bir gelişimiydi. Aynı nedenlerle ölçme ile ilgili bilgiler kuramsal geometrinin başlangıcını oluşturdu.

Mısır Matematiği

Mısır matematiğine ilişkin bilgilerimizin çoğu iki kaynağa dayanır. Bunlar 85 problemi içeren Rhind Papirüsü ve bundan belki de 200 yıl öncesine ait olan ve 25 problemi kapsayan Moscow Papürüsü'dür. Bu elyazmaları düzenlenirken, içerdikleri problemler zaten eskiden beri biliniyordu; ama yakın dönemden, hatta Roma döneminden kalma az sayıdaki papirüsteki yöntemler de bundan farklı değildi. Kullandıkları matematik onlu sayı sistemine dayanıyordu ve 10'dan büyük her 10'lu birim için özel simgeler kullanılıyordu. Bu tür sistemleri Roma rakamlarından biliyoruz: MDCCCLXXVII = 1878. Bu sistemi kullanan Mısırlılar, çarpmayı ardışık toplamalara indirgeyen, toplama ağırlıklı bir aritmetik geliştirdi. Örneğin, bir sayıyı 13 ile çarpmak için onu önce 4 ve 8'le çarpıyorlardı daha sonra çıkan sonucu sayının kendisine ekliyorlardı. Bu işlemi yaparak inceleyelim: Normal çarpma işlemi: 3'13=39 Mısırlıların kullandığı yöntem: 3'4 = 12 3'8 = 24 24+12 = 36 36+3 = 39 Görüldüğü gibi sonuç aynı. Mısır matematiğinin en önemli yönü kesirlerle yapılan hesaplamalardır. Bütün kesirler, payı bir olan birim kesirlerin toplamı olarak yazılırdı. Bazı problemlerin teorik yanları ağır basıyordu. Örneğin 100 somun ekmeği 5 kişi arasında, her birine düşen pay aritmetik olarak artarak ve en büyük 3 payın toplamının yedide biri en küçük iki payın toplamına eşit olacak biçimde bölüştürülmesi problemi böyleydi. 7 evin her birinin 7 kedisi, her kedinin kovaladığı 7 farenin olduğu problem, geometrik olarak artan bir serinin toplamının formülünü bildiklerini gösteriyordu. Böyle problemler için yazılmış şiirler, şarkılar bile vardır. Şu şiiri anımsayalım: St. Ives'e giderken 7 karısı olan bir adamla karşılaştım Her karısının yedi sepeti Her sepetin yedi kedisi Her kedinin yedi yavrusu vardı Her yavrununda yedi çıngırağı vardı Yavrular, kediler, sepetler, kadınlar ve çıngıraklar Kaç tanesi St. Ives'e gidiyordu?

Mezopotamya Matematiği

Mezopotamya matematiği, Mısır matematiğinin hiçbir dönemde ulaşamadığı bir düzeye erişti. Burada yüzyıllar içinde bile ilerlemeyi fark edebiliriz. M.Ö 2100'deki en eski metinlerde bile gelişmiş hesap izleri bulunur. Bu metinlerde 10'lu sistemin üzerine 60'lı sistemin eklendiği çarpım tabloları bulunmaktaydı. 1, 60, 3600; hatta 60 üstü ve 60 üstü 2'yi gösteren çiviyazısı simgeler kullanılmıştı. Ama bu onların matematiğinin tipik özelliği değildi. Mısırlılar daha büyük her sayıyı yeni bir simge ile gösterirken, Sümerliler aynı simgeyi kullanıp değerini bulunduğu yere göre belirliyorlardı. Ayrıca 60'lı sayı sistemi insanlığın kalıcı bir kazanımı oldu. Günümüzde kullandığımız saatin 60 dakika ve 3600 saniyeye bölünmesinin de, dairenin 360 dereceye, her derecenin 60 dakikaya, her dakikanın da 60 saniyeye bölünmesinin kökeni de Sümerliler'e kadar uzanır. Birim olarak 10 yerine 60'ın alınmasının sebebi ölçme sistemlerini birleştirmek olabileceği gibi 60'ın birçok böleninin olması da nedenlerden biri olabilir.

Mısır Hiyeroglifleri

Eğer yazılarınızı eski Mısır hiyeroglifleriyle yazarsanız çoğu kişi bunları okumaya çalışmaktan vazgeçecektir. Eski Mısır Hiyeroglifleri'nden Mısır rakamlarını öğrenmek çok kolaydır; çünkü hepsinin bir görsel anlamı vardır. Büyük bir olasılıkla yazı yazmaya başlamadan once Mısırlılar, sayı saymak için parmaklarını kullanıyorlardı. Başka birinin okuması için sayı düzenlemeleri gerektiğinde de, yine büyük bir olasılıkla, yan yana sıralanmış yapraklar, ip parçaları ve çiçekler bırakıyorlardı. Neden mi böyle düşünüyoruz? Çünkü daha sonradan hiyeroglif yazı sistemini geliştirdiklerinde, yaprak ip parçaları, çiçek ve hatta yılan ve iribaşlar kullanmışlar.