Türkçe Bilgi logo TürkçeBilgi

Harmonik Seriler

Kısaca: Harmonik seri ıraksak bir seridir,harmonik sözcüğü ise müzikten devşirilmiştir. ...devamı ☟

Harmonik seriler
Harmonik Seriler

Harmonik seri ıraksak bir seridir,harmonik sözcüğü ise müzikten devşirilmiştir. : \sum_^\infty \frac = 1 + \frac + \frac + \frac + \cdots.\! serisini incelersek her kesrin seri toplamında bir payı veya katkısı olduğunu görebiliriz.

Harmonik serinin Iraksaması

Sonsuza çok yavaş olarak ıraksayan bu serinin ilk 10^43 teriminin toplamı enaz 100'dürve Terim terim genişletilirse başka bir ıraksak seriye yakınsar. : \begin \sum_^\infty \frac & = 1 + \left[1] + \left + \frac\right + \left + \frac + \frac + \frac\right + \left[2] +\cdots \\ & > 1 + \left[3] + \left + \frac\right + \left + \frac + \frac + \frac\right + \left[4] +\cdots \\ & = 1 + \ \frac\ \ \ + \quad \frac \ \quad + \ \qquad\quad\frac\qquad\ \quad \ + \quad \ \ \frac \ \quad + \ \cdots. \end Bu çok sayıda terimini içeren harmonik serinin sonsuza ıraksadığı açıkça görülüyor. Serinin 2k-inci kısmı toplamı s_ ise : s_ \ge 1 + , (serisine yakınsıyor) Yavaş ve neredeyse logaritmik bir artışa dönüşme var. Bu kanıtı ortaçağ matematikçisi Nicole Oresme bulmuştur,ve o dönemin en ileri seviyesidir. Yine de standart olarak günümüzde bu test kullanılmaktadır. Cauchy testi (kondensasyon) bu testin genelleştirilmiş halidir. Harmonik seri için kullanılan diğer bir yöntem integral ıraksama testi, 1'le sonsuz aralığında integralinden faydalanılır. sadece asal sayılar'ın terslerinin toplamı bile exponansiyel bir yavaşlık olmasına rağmen, sonsuza ıraksar ve denemesi daha zordur. Alternatif yaklaşım Harmanik serinin toplamına destek için toplamı S ile gösterelim: :\sum_^\infty \frac = 1+\frac+\frac+\frac+\cdots=S kesirlerin yeniden düzenlenmesiyle :S=\left(1+\frac+\frac+\frac+\cdots\right)+\left(\frac+\frac+\frac+\frac+\cdots\right) Basitçe ikinci gurubun sonucu :S=\left(1+\frac+\frac+\frac+\cdots\right)+\frac\left(1+\frac+\frac+\frac+\cdots\right) ikinci gurup yerini S 'e bırakır :S=\left(1+\frac+\frac+\frac+\cdots\right)+\fracS Bundan faydalanarak :\fracS=\left(1+\frac+\frac+\frac+\cdots\right) veya sonuç; :\frac+\frac+\frac+\frac+\cdots= 1+\frac+\frac+\frac+\cdots Bu doğru olamaz.Arka arkaya gelen bu toplamlar,ıraksamaya götürür. Diğer bir deneme geometrik seriler ile başlayalım :\frac = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ... İki tarafında integrali alınırsa :-\ln(1-x) = x + \frac + \frac + ... iki tarafında x \rightarrow 1 giderken limitini alırız. :-\lim_ \ln(1-x) = 1 + \frac + \frac + \frac + ... = \sum_^ \frac . -\lim_ \ln(1-x) = -(-\infty) = \infty ,den dolayı toplarsak \sum_^ \frac = \infty Diğer bir değişle toplam ıraksaktır. Alterne harmonik serinin yakınsaması Burada alterne harmonik seri 'nin yakınsaması : \sum_^\infty \frac} = 1 - \frac + \frac - \frac + \cdots = \ln 2 = 0.693\,147\,180\,\dots. Bu eşitlik Mercator serisi'nin bir sonucudur., Taylor serisi'nin doğal logaritmadaki ikizidir, diğer eşitlik : \sum_^\infty \frac = 1 - \frac + \frac -\frac +\cdots = \arctan (1 )=\frac.\! Taylor serisi gösteriminin ters tangent fonksiyon sonucu (yarıçap 1'e yakınsama vardır.). Kısmi toplam :Hn= \sum_^\infty \frac serisinde n.nci kısmi toplamı n.nci harmonik sayıyı verir,bu sayı ile doğal logaritma arasında fark Euler-Mascheroni sabiti'ne yakınsar. Harmonik serinin genelleştirilmesi Harmonik serinin genel formu :\sum_^\frac.\! burada a ve b sonlu herhangi bir gerçel sayıdır. P-serisi p-serisi 'nde p pozitif gerçel bir sayıdır :\sum_^\frac,\! integral testi ile p > 1 için aşırı-harmonik seri, p = 1 için harmonik seri p > 1 seri toplamı ζ(p)'yi yani,Riemann zeta fonksiyonu'nu verir.

Kaynaklar

Vikipedi

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.

Harmonik fonksiyon
2 yıl önce

Matematiğin matematiksel fizik alanında ve rassal süreçler teorisinde bir harmonik fonksiyon, Rn'nin U gibi açık bir kümesi üzerinde f : U → R şeklinde tanımlı...
Küresel harmonikler
2 yıl önce

sistemin küresel harmonik formlarının özel bir kümesidir.Küresel harmoniklerden birkaçının kökleri sağda gösterimlenmiştir. Küresel harmonikler pek çok yerde...
Seri
2 yıl önce

olarak bulunur. Limiti alındığında s=1 bulunduğundan verilen seri yakınsaktır denir. Harmonik seri olarak bilinen ∑ i = 1 n 1 n {\textstyle \sum _{i=1}^{n}{\frac...
Matematiksel analiz
2 yıl önce

analiz Kesirli analiz Diferansiyel geometri ve topoloji Fonksiyonel analiz Harmonik analiz Gerçel analiz Karmaşık analiz Klasik olmayan analiz Nümerik analiz...

Matematiksel analiz, Aritmetik, Cebir, Diferansiyel denklemler, Fonksiyon, Isaac Newton, Limit, Matematik, Taslak, İntegral, Gottfried Wilhelm Leibniz
Fourier serisi
2 yıl önce

teorinin kullanımı daha önceleri epey karmaşık olan uzaksak seriler, fonksiyon uzayı ve harmonik analizinde önemli yenilik ve kolaylıklar getirmiştir. Fourier...
Almaşık Seri
6 yıl önce

genelde fazla kuvvetli bir şarttır, bu gerekli değildir. Örneğin, şu harmonik seri ∑ n = 1 ∞ 1 n , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}},\...
Iraksak seri
2 yıl önce

terimi sıfıra yaklaşmayan seriler ıraksaktır. Ne var ki, terimleri sıfıra yaklaşan tüm seriler yakınsak değillerdir. Harmonik seri bu duruma örnek olarak...
Synthesizer
2 yıl önce

eksiltmeli (subtractive) sentezlerdir. Artırmalı sentezde sese, genellikle harmonik açıdan ilişkili yeni dalga şekilleri eklenir ve ulaşılmak istenen ses elde...

Synthesizer, Taslak, Teknoloji