Türkçe Bilgi logo TürkçeBilgi

Pauli Matrisleri

Kısaca: Pauli matrisleri 2 × 2' lik, karmaşık sayılar içeren Hermisyen ve üniter matrislerden oluşan bir settir. Genellikle Yunan alfabesindeki 'sigma' (σ), harfiyle sembolize edilirler. ...devamı ☟

Pauli matrisleri 2 × 2` lik, karmaşık sayılar içeren Hermisyen ve üniter matris oluşan bir settir. Genellikle Yunan alfabesindeki `sigma` (σ), harfiyle sembolize edilirler. Bu matrisler:
\sigma_1 = \sigma_x = \begin 0&1\1&0 \end

\sigma_2 = \sigma_y = \begin 0&-i\i&0 \end

\sigma_3 = \sigma_z = \begin 1&0\0&-1 \end

İsim onları bulan Wolfgang Pauli` den gelmektedir.

Özellikler

``I`` birim matris olmak üzere.
\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \begin 1&0\\0&1\end = I



\begin
\det (\sigma_i) &=& -1 & \\[1] \operatorname (\sigma_i) &=& 0 & \quad \ i = 1, 2, 3 \end

Dolayısıyla bu matrislerin özdeğerlerinin σ``i`` ±1 olduğu açıkça görülebilir.

  • Birim matris I (bazen σ0 olarak da gösterilir) ile birlikte Pauli matrisleri gerçel Hilbert uzayında, 2 × 2 karmaşık Hermisyen matrisler olarak veya kompleks Hilbert uzayında 2 × 2 matrisler olarak orthogonal (birbirine dik ve normalize) bir baz oluştururlar.


Komutasyon bağıntıları

\sigma_1\sigma_2 = i\sigma_3\,\!
\sigma_3\sigma_1 = i\sigma_2\,\!
\sigma_2\sigma_3 = i\sigma_1\,\!
\sigma_i\sigma_j = -\sigma_j\sigma_i \quad i\ne j\,\!




\begin
\sigma_j &=& 2 i\,\varepsilon_\,\sigma_k \\[2] \ &=& 2 \delta_ \cdot I \end

Yukarıdaki bağıntılar şöyle özetlenebilir:

\sigma_i \sigma_j = \delta_ \cdot I + i \varepsilon_ \sigma_k \,.


Pauli vektörü şu şekilde tanımlıdır:
\vec = \sigma_1 \hat + \sigma_2 \hat + \sigma_3 \hat \,


Bu komutasyon bağıntıları ve pauli vektör tanımı kullanılarak aşağıdaki ifadeler elde edilebilir:
(\vec \cdot \vec)(\vec \cdot \vec) = \vec \cdot \vec + i \vec \cdot (\vec \times \vec) \quad \quad \quad \quad (1) \,
(``a`` ve ``b`` vektörleri pauli matrisleriyle değişme özelliğine sahip olması durumunda)
en genel tanımıyla \vec = a \hat olarak verilen bir ``a`` vektörü için
e^ \cdot \vec)} = \cos + i (\hat \cdot \sigma) \sin \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2) \,


(1)` in ispatı
{|
|(\vec \cdot \vec)(\vec \cdot \vec) \, | = a_i \sigma_i b_j \sigma_j \, |- | | = a_i b_j \sigma_i \sigma_j \, |- | | = a_i b_j \left(\delta_ + i \varepsilon_ \sigma_k \right) \, |- | | = a_i b_j \delta_ + i \sigma_k \varepsilon_ a_i b_j \, |- | | = \vec \cdot \vec + i \vec \cdot (\vec \times \vec)\, |}
(2)` nin ispatı
Çift kuvvetler için
(\hat \cdot \vec)^ = I \,
tek kuvvetler için
(\hat \cdot \vec)^ = \hat \cdot \vec \,


Üstel açılımının çift ve tek kuvvetlerinin sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının Taylor açılımlarını verdiği anımsanırsa:
{|
|e^ \, |= \sum_^\infty{n! \, |- | |= \sum_^\infty^\infty{\frac{(-1)^n x^{2n+1{(2n+1)! \, |} x = a (\hat \cdot \sigma) \, yerine koyularak
= \sum_^\infty\cdot \sigma)^^\infty\cdot \sigma)^{2n+1{(2n+1)! \,
= \sum_^\infty\cdot \sigma) \sum_^\infty{\frac{(-1)^n a^{2n+1{(2n+1)! \,
sonuçta,
e^ \cdot \vec)} = \cos + i (\hat \cdot \vec) \sin \,
ifadesine ulaşılır.


Fizik

Kuantum mekaniğinde Pauli matrisleri spin ½ sistemlerin spinlerini konum uzayında betimler. Sistemin durumu iki bileşenli bir spinörle ifade edilir. Spin operatörleri bu matrislerle verilirler.

S_i = \frac\sigma_i \quad i=1,2,3

Pauli matrislerinin özdeğerlerinin ±1 olması spin operatörlerinin özdeğerlerinin \pm \hbar /2 olması, dolayısıyla bir eksen yönünde yapılan spin ½ sistemin spininin iki değerden birini alması anlamına gelir. Bu konuyla daha kapsamlı bilgi için Stern-Gerlach deneyi incelenebilir.

Kaynaklar

Vikipedi

İlgili konular

fonksiyon hermisyen matris karmaşık sayı kosinüs kronecker delta kuantum mekaniği matris (matematik) sinüs spin vektör

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.