Logaritmik Spiral

Kısaca: Logaritmik (veya eşaçılı) spiral, doğada sık rastlanan bir spiral çeşididir. İlk olarak 17. yüzyılda René Descartes ve Jakob Bernoulli tarafından tanımlanmış ve incelenmiştir. ...devamı ☟

Logaritmik spiral
Logaritmik Spiral



" target="_blank"> kabuğunun kesitinde, logaritmik spiral şeklinde dizilmiş bölmeler]

" target="_blank"> üzerinde, logaritmik spiral şekli almış bir alçak basınç alanı]

ı" target="_blank">[1]]

Logaritmik (veya eşaçılı) spiral, doğada sık rastlanan bir spiral çeşididir. İlk olarak 17. yüzyılda Rení© Descartes ve Jakob Bernoulli tarafından tanımlanmış ve incelenmiştir. Bernoulli bu eğriye, kendine özgü matematiksel özelliklerinden dolayı, ``spira mirabilis`` (mucizevi spiral) adını vermiş, ve mezar taşına bir logaritmik spiral oyulmasını vasiyet etmiştir.

Kutupsal koordinat sisteminde logaritmik spiral şu eşitlikle ifade edilir:

\,r = ae^.


Burada ``a`` ve ``b`` gerçel parametreler, ``e`` ise Euler sayısıdır. Aynı eşitlik şu şekilde de yazılabilir:

\theta = \frac \ln(r/a),


nitekim logaritmik ismi de buradan gelir. Kartezyen koordinat sisteminde aynı eğri, şu parametrik denklem çiftiyle ifade edilebilir:

x(t) = ae^ \cos(t),\,
y(t) = ae^ \sin(t).\,


Özellikler

Logaritmik spiralin ilginç özelliklerinden biri, orijinden çıkan her doğrunun spirali aynı açıyla kesmesidir. Bir başka deyişle, orijinden çıkan her doğru, spirali kestiği her noktada, spirale teğet geçen doğruyu aynı açıyla keser. Logaritmik spirale eşaçılı denmesinin sebebi de budur. Bu kesme açısı, vektör hesabı yardımıyla bulunabilir:

\phi = \arccos \frac(\theta), \mathbf`(\theta) \rangle}(\theta)\|\|\mathbf`(\theta)\|} = \arctan \frac\,.


Bu formüle göre, ``b``,yi sıfır aldığımızda orijinden çıkan doğrular spirali hep dik kesecektir, yani spiral ``a`` yarıçaplı bir çemberdir. (Elbette aynı sonuç polar denklemde ``byi sıfır alarak da görülebilir.)

Orijinden çıkan herhangi bir doğrunun logaritmik spirali kestiği noktalar, bir geometrik dizi halinde birbirlerinden uzaklaşırlar. Her bir noktanın orijine uzaklığı, bir önceki noktanın orijine uzaklığının \,e^ katıdır. Bir başka spiral çeşidi olan Arşimet spiralinde ise bu noktaların arasındaki mesafe hep aynı kalır.

Logaritmik spiral üzerinde sabit bir noktadan hareket edip spiral boyunca orijine doğru ilerlersek, orijine varmadan önce çevresini sonsuz kere turlamamız gerekir, fakat katedeceğimiz toplam mesafe sonludur: \,r/\cos(\phi). (Burada ``r`` başlangıç noktasının orijine uzaklığıdır.) Bu şaşırtıcı sonucu ilk keşfeden, 17. yüzyıl matematikçisi Evangelista Torricelli olmuştur.

Logaritmik spiralin bulunduğu düzlemin ölçeğini değiştirmek, spirali orijin çevresinde döndürmekle aynı sonucu verir. ``n`` bir tam sayı olmak üzere, ölçeği \,e^ oranında büyütmek ya da küçültmek, spirali orijin çevresinde ``n`` tam tur döndürmekle aynı şeydir, ve bize orjinal spiralin aynısını verir. Dolayısıyla logaritmik spiral, basit bir fraktal örneğidir.

Doğada logaritmik spiral

Logaritmik spiral, doğada rastlanan pek çok süreçte kendiliğinden oluşur.

  • Bir şahin, havadan avına yaklaşırken logaritmik spiral izler. Şahinin avını en iyi görebildiği açı sabittir, ve şahin uçuş yönünü, bu açıyı sabit tutacak şekilde belirler. Bu da bir logaritmik spiral oluşturur.
  • Uçabilen böcekler, bir ışık kaynağına yaklaşırken logaritmik spiral izlerler. Bunun sebebi, ışık kaynağı ve uçuş yönleri arasındaki açıyı sabit tutmalarıdır. (Doğada tek kuvvetli ışık kaynağı güneş ya da ay olduğundan, ışık kaynağına sabit bir açıyla uçmak böceklerin dümdüz ilerlemesini sağlar. Yapay ışık kaynaklarına sabit bir açıyla ilerlemek ise düz bir hat yerine logaritmik spiral oluşturur.)
  • Sarmal gökadaların kolları logaritmik spiral şeklinde açılır. İçinde bulunduğumuz Samanyolu gökadası da dört ana kolu olan bir sarmal gökadadır.
  • Tropik kasırgalar logaritmik spiral şeklini alırlar.
  • Notilus gibi pek çok deniz canlısı, kabuğunu logaritmik spiral şeklinde inşa eder. Bunun sebebi, bu hayvanların büyüme hızlarının mevcut büyüklüklerine orantılı olması, yani hayvanların üstel bir hızla büyümeleridir.


Ayrıca bakınız



Kaynaklar

  • kaynak wiki | url = http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithmic_spiral | dil = İngilizce | tarih = 27 Temmuz 2007 | madde = Logarithmic spiral ve kaynakları:


Dış bağlantılar





Kaynaklar

Vikipedi

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.

Logaritmik spiral Resimleri

Spiral (anlam ayrımı)
6 yıl önce

AT-6 Spiral AT-9 Spiral-2 Arşimet spirali Euler spirali Hiperbolik spiral Logaritmik spiral Spiral Spiral yay Spiral galaksi Spiral (Buffy bölümü) Sarmal...

Spiral
3 yıl önce

kullanılır. Arşimet spirali Cornu ya da Euler spirali Fermat spirali Hiperbolik spiral Lituus Logaritmik spiral Theodorus’un Spirali Dairenin involütü (siyah)...

Arşimet spirali
3 yıl önce

durağan spirallerin hepsi (notilus kabuğu, sarmal galaksi, örümcek ağı, vs) logaritmik spirallerdir. Güneş'in manyetik alanı gibi pek çok dinamik spiral ise...

Arşimet spirali, Akışkan, Arşimet, Doğru (matematik), Gaz, Gerçel sayılar, Güneş, Hiperbolik spiral, Kutupsal koordinat sistemi, Logaritmik spiral, Manyetik alan
Hiperbolik spiral
3 yıl önce

Hiperbolik spiral, ilk olarak 18. yüzyıl başlarında Pierre Varignon ve Johann Bernoulli tarafından incelenmiştir. Logaritmik spiral Arşimet spirali ^ "Hyperbolic...

Hiperbolik spiral, Arşimet spirali, Asimptot, Gerçel sayılar, Kartezyen koordinat sistemi, Kutupsal koordinat sistemi, Logaritmik spiral, Orijin, Pierre Varignon, Johann Bernoulli
Altın üçgen
3 yıl önce

köşelerinden geçecek şekilde bir logaritmik spiral çizilebilir. Spiral, Rene Descartes tarafından adlandırıldığı şekliyle, eşaçılı spiral olarak da bilinir. Bülent...

Altın dikdörtgen
3 yıl önce

kadar devam ettirilebilir. Bu karelerin köşeleri, özel bir logaritmik spiral olan, altın spiral üzerindeki sonsuz nokta dizisine karşılık gelir. Astrofizikçi...

Gnuplot
6 yıl önce

etkileşimli olarak kullanılabnilir. Örnek olarak komut ve çıktısı için Logaritmik Spiral dosyasına bakılabilir. Program birçok kişi tarafından desteklenmektedir...

Sarmal galaksiler listesi
6 yıl önce

yıldızların oluştuğu parlak kollarına borçuludurlar. Bu kollar yaklaşık logaritmik olarak merkezden dışa doğru açılırlar. Sarmal gökada Gökadalar dizini...