Fermi-Dirac Istatistikleri

Kısaca: Fermi-Dirac istatistikleri (F-D istatistikleri) fizik biliminin bir parçası olarak Pauli dışlama prensibine uyan eş parçacıkları içeren sistemdeki bir parçacığın enerjisini tanımlar. Birbirlerinden bağımsız olarak bunu keşfeden Enrico Fermi ve Paul Dirac'tan sonra adlandırılmıştır. ...devamı ☟

Fermi-Dirac istatistikleri (F-D istatistikleri) fizik biliminin bir parçası olarak Pauli dışlama prensibine uyan eş parçacıkları içeren sistemdeki bir parçacığın enerjisini tanımlar. Birbirlerinden bağımsız olarak bunu keşfeden Enrico Fermi ve Paul Dirac'tan sonra adlandırılmıştır. F-D istatistikleri termal dengedeki sistemdeki yarım tam sayı spine sahip eş parçacıklara uygulanır.Ek olarak, sistemdeki parçacıklarının gözardı edilebilir karşılıklı etkileşimlerin olduğu kabul edilmektedir.Bu çok parçacıklı bir sistemin tek tek parçacıkların enerji seviyesi ile tanımlanmasına imkan kılar.Sonuç Fermi-Dirac parçacıklarının bu enerji seviyeleri üzerine dağılımını ve sistemin özelliklerini oldukça etkileyen iki farklı parçacığın aynı seviyeye sahip olmasını içerir.Fermi-Dirac istatistikleri tam sayı] spinli parçacıklara uygulanabildiğinden bu parçacıklar fermiyon olarak adlandırılır.En genel olarak 1/2 spine sahip fermiyon olan elektrona uygulanır.Fermi-Dirac istatistikleri, mekanik ilkelerini kullanarak daha genel bir alan olan istatistiksel mekanik alanının içerisindedir. Tarihçe 1926'da Fermi-Dirac istatistikleri bulunmadan önce elektronun davranışların çelişkili fenomenlerden dolayı tahmin etmek güçtü.Örneğin, oda sıcaklığındaki metallerin elektronik kapasitesi elektrik akımındakinden 100 kat daha az elektronmuş gibi gözüküyordu.Ayrıca oda sıcaklığında metallere güçlü elektrik alan uygulayarak elde edilen emisyon akımının neredeyse sıcaklıktan bağımsız olması çok anlaşır bir durum değildi. O zamanlar ki metallerin elektron teorisindeki zorluklarının temel sebebi elektronların(klasik istatistiğe göre)hepsinin denk olmasıdır.Başka bir deyişle her bir elektrona Boltzmann sabiti k ile orantılı olarak eşit miktarda ısı dağıldığını kabul ediliyordu.Bu istatistiksel problem F-D istatistikleri bulunana kadar çözümsüz kaldı. F-D istatistiklerini ilk olrak 1926'da Enrico Fermi ve Paul Dirac tarafından yayınlandı.Başka bir kaynağa göre ise ilk olarak 1925'te Pascual Jordan tarafından aynı istatistiğin geliştirilerek Pauli istatistiği olarak adlandırıldığını belirtir.Ancak Dirac'a göre ilk olarak Fermi tarafından çalışıldığını ve Dirac'ın Feröi istatistikleri olarak adlandırıp karşılık gelen parçacıklara fermiyon adı verdiği bilinir. F-D istatistikleri 1926'da Fowler bir yıldızın bir beyaz cüceye çarpışını açıklarken uygulamıştır.1927'de Sommerfeld bunu metaldeki elektronlara uygulamış ve 1928'de Fowler ve Nordheim metallerin alan elektron emisyonuna uygulamışlardır. Fermi-Dirac dağılımı Eş fermiyonlardan oluşan bir sistemdeki tek-parçacık seviyesi i 'deki ortalama fermiyon sayısı

Fermi-Dirac dağılımı

ile belirlenir. : \bar_i = \frac + 1} k Boltzmann sabiti, T mutlak sıcaklık,\epsilon_i \ tek-parçacık seviyesi i 'nin enerjisi ve \mu\ kimyasal potensiyeldir.T=0 olduğunda kimyasal potensiyel, Fermi enerjisine eşittir.Yarıiletkenlerdeki electronlarda \mu\ de Fermi derecesi olarak adlandırılır. F-D dağılımı sistemdeki fermiyon sayısı çok yüksek olduğunda geçerlidir, bu sebepten sisteme eklenen bir fermiyonun \mu\ 'ye olan etkisi gözardı edilebilir.F-D dağılımı Pauli dışlama prensibi kullanılarak oluşturulduğundan bunun sonucu olarak 0 < \bar_i < 1 .
Image:FD e mu.jpg|Enerji bağımlılığı. Yüksek T 'de daha kademeli. olduğunda. \mu \ 'da azalma düşük T değerlerinde görülmemektedir.
Image:FD kT e.jpg|
Sıcaklık bağımlılığı \epsilon > \mu \ için.
(Büyütmek için resimlerin üzerine tıklayınız.)
Enerjiye göre parçacıkların dağılımı Yukarıdaki dağılım, aynı anda aynı seviyeye iki farklı fermiyon sahip olamayacağından eş fermiyonların tek-parçacık enerji seviyelerine göre dağılımını göstermektedir.F-D dağılımı kullanılarak aynı enerjiye sahip birden fazla fermiyonun olduğu enerjiye göre bir dağılım da bulanabilir.Seviyelere göre değilde enerjiye göre yapılan bu dağılımda bazen F-D dağılımı olarak adlandırılır, ancak bu makale de bu adlandırma ile o kastedilmemektedir. \epsilon_i \ enerjisine sahip Ortalama fermiyon sayısı \bar_i \ 'nin degeneracy g_i \ ile çarpılması ile bulunur(örneğin \epsilon_i \ enerjisine sahip olan seviye ), Eq. (1)'deki, n(\epsilon) \, and n_s \, sırasıyla \bar_i and \bar(\epsilon_i) bu makalede tekamül eder. : \begin \bar(\epsilon_i) & = g_i \ \bar_i \\ & = \frac + 1} \\ \end g_i \ge 2 \ olduğunda, \ \bar(\epsilon_i) > 1 mümkündür, \epsilon_i \ enerjiye sahip fermiyon birden fazla seviyeye sahip olabilir. Sürekli gibi olan \epsilon \ enerji seviye yoğunluğu g( \epsilon ) \ ile değiştirildiğinde(şöyle ki birim enerji aralığında birim hacimdeki seviye sayısı ) ,birim enerji aralığında birim hacimdeki ortalama fermiyon sayısı: : \bar }(\epsilon) = g(\epsilon) \ F(\epsilon) F(\epsilon) \ Fermi fonksiyonu olarak bilinir ve \bar_i F-D dağılımı için kullanılan fonksiyon ile aynıdır. : F(\epsilon) = \frac + 1} böylece : \bar }(\epsilon) = \frac + 1} . Kuantum ve klasik rejimler Maxwell-Boltzmann istatistikleri'in F-D istatistiklerine yakınsama olarak kullanılabileceği klasik rejimde parçacığın konum ve momentum için Heisenberg belirsizlik ilkesinin limitlerine yaklaşmayan durumları ele alır.Bu yaklaşımda,parçacığın ortalama de Broglie dalgaboyu \bar dan çok daha büyük, ortalama ara parçacık ayrımı \bar denk gelen parçacığın konsantrasyonuna sahip olduğu durumlarda klasik durumun olduğu gösterilebilir. :\bar \ \gg \ \bar \ \approx \ \frac} h Planck sabiti ve m parçacığın kütlesidir. T=300K'de (ortalama olarak oda sıcaklığı)tipik bir metale elektron yüklemede sistem klasik rejimden oldukça uzaktadır, çünkü \bar \approx \bar/25 .Bu durum elektronun küçük kütlesi ve metale yüklenen elektronların konsantrasyonun yüksek olmasından kaynaklanır.Bu durum tipik bir metale elektron yüklemede F-D istatistiklerine ihtiyaç doğurur. Klasik rejimde olmayan başka bir örnekte bir beyaz cüceye çarmış olan bir yıldızın elektronlarını içeren sistemlerdir.Beyaz cücenin sıcaklığının (yüzeyde yaklaşık T=10000K) yüksek olmasına, elektron konsantrasyonun yüksek ve elektronun kütlesinin çok küçük olmasına rağmen klasik bir yakınsama öngörür ve bu durumda yine F-D istatistiklerine ihtiyaç duyulur. Fermi-Dirac dağılımının iki çıkarımı ==

Kanonik dağılımdan başlayarak

Termal dengede ve içkin etkileşimleri göz ardı edilebilir N tane eş fermiyondan oluşan bir sistem varsayın.İçkin etkileşimler göz ardı edilebildiğinden dolayı, R seviyesine sahip ait ER enerjisine sahip çok parçacıklı sistemin energisi tek tek parçacıkların energilerinin toplamı olarak ifade edilebilir. : E_R = \sum_ n_r \epsilon_r \; n_r doluluk sayısı denir ve \epsilon_r \; energiye sahip r seviyesindeki parçacık sayısıdır. Tolam olası tüm r seviyelerindeki parçacıklarının enerjilerinin eklenmesiyle bulunur. Çok parçacıklı sistemin R seviyesinde olma ihtimali düzgelenmiş kanonik dağılım ile ifade edilir. :P_R = \frac } e^} } \beta\; = 1/kT , kisBoltzmannsabiti, T mutlak sıcaklık, e\scriptstyle -\beta E_R Boltzmann factörü denir ve tolam olası tüm r seviyelerindeki parçacıklarının enerjilerinin eklenmesiyle bulunur.. Ortalama doluluk sayısı n_i \; değeri: :\bar_i \ = \ \sum_ n_i \ P_R Çok parçacıklı sistemin R seviyesi tek-parçacıklı sistemin seviyelerinin parça doluluğu ile belirtilebilir, işöyle ki n_1,\, n_2,\, ... \;, belirterek, böylece :P_R = P_ = \frac } n_r = N \; . Toplam serileri tekrar ayarlanırsa, : \bar_i = \frac ^1 n_i \ e^ \quad \sideset}\sum_ e^ } ^1 e^ \qquad \sideset}\sum_ e^ } Toplam sembolündeki ^ toplamanın n_i üzerinden olmadığını belirtir and toplam parçacık sayısınının N_i = N-n_i ile değişimini belirtir. Dikkat edilmelidir ki \Sigma^, N_i sınırlandırması ile hala n_i bağlıdır, çünkü n_i=0 bir durumdur ve \Sigma^ N_i=N ile işlenir, başka bir durumda ise n_i=1 ve \Sigma^ , N_i=N-1   ile işenir;notasyonu sadeleştirmek ve\Sigma^'nin N-n_i üzerinden hala n_i dayandığını açıkça belirtmek için şunu tanımlayalım : Z_i(N-n_i) \equiv \ \sideset}\sum_ e^ \; \bar_i için önceki ifade yeniden yazılabilir ve Z_i üzerinden toplanabilir , : \begin \bar_i \ & = \frac ^1 n_i \ e^ \ \ Z_i(N-n_i)} ^1 e^ \qquad Z_i(N-n_i)} \\ \\ & = \ \frac \; Z_i(N-1)} \; Z_i(N-1)} \\ & = \ \frac +1} \quad . \end Bir sonraki yaklaşım Z_i(N)/Z_i(N-1) yerine bir ifade koymak için kullanılacaktır. :\begin \ln Z_i(N- 1) & \simeq \ln Z_i(N) - \frac \\ & = \ln Z_i(N) - \alpha_i \; \end \alpha_i \equiv \frac \ . Eğer parçacık sayısı N yeterince büyük ise sisteme bir parçacık eklendiğinde kimyasal potansiyel \mu\; 'deki değişim çok küçük olacaktır, ve \alpha_i \simeq - \mu / kT \ ..Her iki tarafın ters logaritmasını alıp \alpha_i \, için yerine koyalım ve tekrar düzenleyelim :Z_i(N) / Z_i(N- 1) = e^ \, . Yukarıdaki ifadeyi \bar _i için denklemde yerine koyalım ve 1/kT \beta\; yerine koymak için \beta\; önceki tanımı kullanalım .Sonuç Fermi-dirak dağılımı olacaktır. :
\bar_i = \ \frac +1}

Langrange çarpanları ile çıkarma

Sistemin çokluğu incelenerek ve Lagrange çarpanları incelenerek doğrudan bir sonuç elde edilebilir. Toplam ni tane parçacık içeren ve her biri εi enerji seviyelerine sahip i indeksiyle işaretlenmiş seviyeler olduğunu varsayalım. Varsayalım her biri gi hepsi aynı enerjiye sahip ayrık ve ayrıştırılabilir alt seviyelere sahip olsun.Örneğin, iki parçacık farklı momentaya sahip olduklarında bunlar ayrıştırılabilirler, ancak aynı enerjiye sahip olabilirler.i 'ye karşılık gelen gi değeri eşenerjilikolarak adlandırılır. Pauli dışlama ilkesi böyle her bir alt seviyeye sadece bir fermiyonun atanabileceğini belirtir. ni tane parçacığın gi enerji alt seviyelerine kaç farklı yolla dağıtılabileceğini binom katsayısı ile bulunur.Binom katsayısının kombinaysonal halini kullanarak : w(n_i,g_i)=\frac \ . Atanan ni sayısı kümesi olan yol sayısı her bir enerji seviyesinin toplandığı değişik yolların çarğımı olarak anlaşılabilir: : W = \prod_i w(n_i,g_i) = \prod_i \frac. Maxwell-Boltzmann istatistikleri}}nin çıkarımında da aynı süreç izlenebilir.Amacımız sabit parçacık sayıyı ve sabit enerji için W 'nin enbüyük değerini verecek ni sayıları kümesini bulmak.Sonucumuzu [[Lagrande çarpanlarını ile bir fonksiyon yaratarak sınırlandırıyoruz: : f(n_i)=\ln(W)+\alpha(N-\sum n_i)+\beta(E-\sum n_i \epsilon_i). Faktoriyeller için Stirling yakınsamasını kullanıp ni göre türev almak ve sonucu sıfıra eşitleyerek ni için çözül yapılırsa Fermi-Dirac yığın sayısı elde edilir: : n_i = \frac+1}. Termodinamik kullanılarak β = 1/kT (k Boltzmann sabiti ve Tsıcaklık ve, μ kimyasal potansiyel) olduğu gösterilebilşir.Sonuç olarak bir seviyenin olasılığı: : \bar_i = \frac = \frac+1}. ayrıca bakınız * Fermi enerji * [[Maxwell-Boltzmann istatiskleri}} * [[Bose-Einstein istatistikleri}}

References

# # #

Kaynaklar

Vikipedi

Bu konuda henüz görüş yok.
Görüş/mesaj gerekli.
Markdown kullanılabilir.

Paul Dirac
3 yıl önce

parçacıklar için Fermi-Dirac istatistikleri ismini kullanırken, tam sayı spinli parçacıklar için Bose-Einstein istatistikleri tanımını kullanır. Dirac verdiği...

Fermi seviyesi
3 yıl önce

kenarındaki Fermi seviyesi referans alınarak, parametreyi ζ tanımlayabiliriz. ζ = μ − ϵ C . {\displaystyle \zeta =\mu -\epsilon _{\rm {C}}.} Fermi-Dirac dağılım...

Serbest elektron modeli
3 yıl önce

Sommerfeld tarafından klasik Drude modeli ve kuantum mekaniksel Fermi-Dirac istatistikleri kullanılarak geliştirilmiştir. Bu sebeple Drude-Sommerfeld modeli...

Serbest elektron modeli, Fizik, Katı, Katı hal fiziği, Kristal yapı, Metal, Taslak, Arnold Sommerfeld, Değerlik elektron
Enrico Fermi
3 yıl önce

uyarlayarak bir makale yazmıştır. Bu istatistiksel formüle bugün Fermi-Dirac istatistiği denmektedir. Dışlama ilkesine uyan parçacıklara “fermiyon” adı...

Enrico Fermi, 1901, 1922, 1923, 1924, 1927, 1934, 1938, 1939, 1944, 1954
Fermiyon
3 yıl önce

fiziğinde, Fermi-Dirac istatistiğine uyan parçacıktır. Başka bir deyişle, Enrico Fermi ve Paul Dirac'ın gösterdiği üzere, Bose-Einstein istatistiğine sahip...

Fermiyon, Bozon, Parçacık fiziği, Pauli dışlama prensibi, Spin, Taslak, Fermi-Dirac istatistiği, Kuantum sayısı
Bozon
3 yıl önce

Satyendra Nath Bose ve Einstein'a atfen isimlendirilmişlerdir. Fermi-Dirac istatistiklerine uyan fermiyonların tersine, farklı bozonlar aynı kuantum konumunu...

Atomaltı parçacık
3 yıl önce

iki kısma ayrılırlar. Fermiyonlar (Enrico Fermi'den) Bozonlar (M. K. Bose'dan ) Fermi-Dirac istatistiklerine uyan parçacıklar aynı anda aynı konumda olamazlar...

Atomaltı parçacıklar, Atom, Baryon, Bozon, Elektron, Fermiyon, Fizik, Foton, Graviton, Işık, Kuark
Matematiksel fonksiyonların listesi
3 yıl önce

polylogarithm Clausen fonksiyonu Tamamlanmış FermiDirac integrali,polylogarithm'e alternatif bir form. Tamamlanmamış FermiDirac integrali Kummer fonksiyonu Spence...